仿射包

仿射包（affine hull，也称仿射闭包）是包含给定点集的最小仿射子空间，记为 $\mathrm{aff}S$。非空仿射子空间形如 $x_0+V$，其中 $V$ 为线性子空间。与线性张成不同，仿射包不强迫包含原点；与凸包不同，仿射组合的系数可以为负，但总和必须为一。

取平面两点 $P=(1,1)$、$Q=(3,1)$。包含它们的最小直线是整条 $y=1$，所以这是它们的仿射包。两点的凸包只是其中的闭线段；线性张成则是整个平面，因为 $P,Q$ 相对原点线性无关。三种“包住点集”的运算在这个小例子中已经不同。

从一个基点平移到线性空间

对非空 $S$，任选 $x_0\in S$，有 $$\mathrm{aff}S=x_0+\mathrm{span}\{x-x_0:x\in S\}.$$ 证明分两部分。右端是仿射子空间，且每个 $x\in S$ 都等于 $x_0+(x-x_0)$，因此它包含 $S$。若另一个仿射子空间 $T$ 包含 $S$，它也包含 $x_0$，可写成 $x_0+W$。于是每个差 $x-x_0$ 都在 $W$，这些差的线性张成也在 $W$，所以右端包含于 $T$。它因此确为最小者。

这个证明同时说明结果不依赖基点选择：无论选哪个 $x_0$，构造出的集合都满足同一个最小性条件。主例的差向量为 $Q-P=(2,0)$，故仿射包为 $(1,1)+t(2,0)$，$t\in ℝ$。

把一个点作为基点后，仿射包沿点差的线性张成延伸。

图中线段只对应 $0\le t\le 1$，整条直线则允许任何实数 $t$。例如 $t=-1/2$ 给出点 $(0,1)$，虽在线段外，仍在仿射包内。

仿射组合的等价描述

任意点的有限仿射组合为 $\sum _{i=1}^k{\alpha }_i{x}_i$，其中 $x_i\in S$、${\alpha }_i\in ℝ$、$\sum _i{\alpha }_i=1$。它可改写成 $$x_0+\sum _i{\alpha }_i(x_i-x_0),$$ 所以落在前面构造的集合。反过来，任意 $x_0+\sum _i{\beta }_i(x_i-x_0)$ 可写成 $$(1-\sum _i{\beta }_i)x_0+\sum _i{\beta }_i{x}_i,$$ 系数之和恰为一。因此仿射包就是全部有限仿射组合的集合。负系数提供向点集外延伸的能力，和为一则保留平移位置。

变式增加点 $R=(2,2)$。此时差向量 $Q-P=(2,0)$ 与 $R-P=(1,1)$ 线性无关，仿射包扩展为整个平面。若改为增加 $R=(5,1)$，新差向量只是原差的两倍，仿射包不变。决定维数的是独立方向的数量，而非列出的点数。

仿射独立与维数

点 $x_0,\dots ,x_k$ 仿射独立，指 $x_1-x_0,\dots ,x_k-x_0$ 线性无关。等价地，同时满足 $\sum _i{\alpha }_i{x}_i=0$ 与 $\sum _i{\alpha }_i=0$ 的系数只能全为零。将最后一个和式用于消去 ${\alpha }_0$，两种定义便直接相互转化。

对有限非空点集，把差向量作为列组成矩阵，其秩就是仿射包的维数。一个点的仿射维数为零；两个不同点为一；三个不共线点为二。对主例两点，尽管它们线性张成的维数是二，仿射维数却只有一。重心坐标的唯一性依赖仿射独立，正是为了排除同一点的多种系数表示。

仿射包与闭包的区别

“仿射闭包”中的“闭包”表示补齐仿射组合，并不是仅添加拓扑极限点。例如开线段 $\{(t,1):1<t<3\}$ 的拓扑闭包是闭线段，仿射包却是整条 $y=1$。在有限维欧几里得空间中，仿射子空间本身是闭集，但这不让两种运算变成同一个运算。

空集的仿射包常约定为空集，仿射维数另可约定为负一；也有资料把“仿射子空间”定义为必须非空。因此本文的基点公式只用于非空点集，不能为 $S=\varnothing$ 选择一个不存在的 $x_0$。对实际有限点集，先检查空集和重复点，再按差矩阵求秩，可以避免这些边界歧义。