重心坐标

重心坐标（barycentric coordinates）用系数之和为一的线性组合表示一个点。若 $v_0,\dots ,v_k$ 仿射独立，点 $x$ 在它们的仿射包内可唯一写成 $$x=\sum _{i=0}^k{\lambda }_i{v}_i,\sum _{i=0}^k{\lambda }_i=1.$$ 这组实数 $({\lambda }_0,\dots ,{\lambda }_k)$ 称为相对于这些顶点的归一化重心坐标。负坐标允许点落在单纯形外；全部坐标非负时，点位于这些顶点的凸包内。

取三角形 $A=(0,0)$、$B=(4,0)$、$C=(0,3)$，求 $P=(1,1)$ 的坐标。横坐标给出 $4{\lambda }_B=1$，纵坐标给出 $3{\lambda }_C=1$，再用系数和得 $$({\lambda }_A,{\lambda }_B,{\lambda }_C)=(\frac{5}{12},\frac{1}{4},\frac{1}{3}).$$ 三者都正，说明点严格在三角形内部；代回得 $(1,1)$，不是只核对系数之和。

仿射独立保证唯一性

将 ${\lambda }_0=1-\sum _{i=1}^k{\lambda }_i$ 代回定义，得到 $$x-v_0=\sum _{i=1}^k{\lambda }_i(v_i-v_0).$$ 仿射独立恰好意味着右边的差向量线性无关，它们又张成仿射包的方向空间，因此系数存在且唯一。更直接地，若两组系数都表示 $x$，相减后有 $\sum _i{\delta }_i{v}_i=0$、$\sum _i{\delta }_i=0$；消去 ${\delta }_0$ 后，由差向量线性无关得到全部 ${\delta }_i=0$。

若顶点共线，唯一性就可能失败。例如在直线上取位置零、一、二，点一既可写为 $0\cdot 0+1\cdot 1+0\cdot 2$，也可写为 $\frac{1}{2}\cdot 0+0\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 2$。系数和都为一，却不是同一组坐标。三角形算法中面积为零时遇到的除零，正对应这个仿射退化。

有向面积与坐标的对应

在平面中以 $[UVW]$ 表示三点构成的有向面积，即 $\frac{1}{2}det(V-U,W-U)$。三角形不退化时， $${\lambda }_A=\frac{[PBC]}{[ABC]},{\lambda }_B=\frac{[APC]}{[ABC]},{\lambda }_C=\frac{[ABP]}{[ABC]}.$$ 证明以第一式为例。利用行列式对各点的仿射线性性，将 $P={\lambda }_{A}A+{\lambda }_{B}B+{\lambda }_{C}C$ 代入有向面积；重复顶点的面积为零，剩下 $[PBC]={\lambda }_A[ABC]$。另两式同理。分母非零是能相除的必要条件。

三个子三角形的面积分别除以总面积，给出与对面顶点对应的重心坐标。

主例总面积为六；$[PBC]=5/2$、$[APC]=3/2$、$[ABP]=2$，除以六得到前面的 $5/12,1/4,1/3$。图中面积与坐标的索引要交叉看：顶点 $A$ 的权重来自不含 $A$ 的子三角形 $PBC$。

变式取 $Q=(5,1)$。坐标为 $(-7/12,5/4,1/3)$，第一个为负，说明越过了边 $BC$。此时 $[QBC]=-7/2$，有向面积保留负号；若把三个面积都取绝对值，其比值之和不再为一，就不能直接作为归一化重心坐标。

凸组合与边界识别

三角形连同边界正是三顶点的凸包，所以重心坐标全部非负当且仅当点在三角形内或边上。若 ${\lambda }_A=0$，表示只由 $B,C$ 组合，点在边 $BC$ 的直线上；再要求另外两者非负，才保证位于边线段上。若两个坐标为零，余下坐标必为一，点恰为相应顶点。

例如 $M=(2,3/2)$ 的坐标为 $(0,1/2,1/2)$，是边 $BC$ 中点。只有“某个坐标为零”并不足以断言在线段内：$(0,2,-1)$ 也给出边所在直线上的点，但已越过端点。

仿射插值与坐标约定

给顶点标量值 $f(A)=2,f(B)=10,f(C)=5$，用 $f(P)={\lambda }_{A}f(A)+{\lambda }_{B}f(B)+{\lambda }_{C}f(C)$ 做仿射插值。代入主例得 $5/6+5/2+5/3=5$。三个顶点确定的仿射函数实际上是 $f(x,y)=2+2x+y$，直接代入 $(1,1)$ 也为五。保持仿射函数正是这种坐标的线性精度，不表示任意非线性函数的真实值也由三个样本唯一决定。

几何文献有时使用齐次重心坐标 $(a:b:c)$，允许同时乘非零常数。若 $a+b+c\ne 0$，可除以总和得到本文的归一化坐标；总和为零的非零三元组不对应通常仿射平面中的有限点。使用面积比、插值和跨软件交换数据时，应先确认归一化方式与顶点顺序。