伽辽金法

伽辽金法（Galerkin method）在有限维试探空间中选择近似解，并要求方程残差对同一空间中的所有测试函数为零。它把一个函数方程变为系数方程，是有限元和许多谱方法的共同框架。残差正交必须说明所用的弱形式、内积和测试空间，不能只说“误差取平均为零”。

只用一个正弦函数逼近

考虑 $-u^{″}=1$、$u(0)=u(1)=0$，精确解为 $u=x(1-x)/2$。取满足端点条件的试探函数 $u_1=c\sin \pi x$。弱形式要求 $${\int }_0^1{u_1}^{\prime }(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{1}v(x)\mathrm{d}x$$ 对测试空间中的函数成立。该空间只有一个方向，所以取 $v=\sin \pi x$ 即够。左边为 $c{\pi }^2/2$，右边为 $2/\pi$，得到 $$u_1(x)=\frac{4}{{\pi }^3}\sin \pi x.$$ 其中点约为 $0.129006138$，接近真值 $0.125$，却不是通过中点插值得到的。系数由全区间的弱方程确定。

用sin(πx)及sin(3πx)作为全局基。两个模式的系数来自弱方程，增加的模式改善整个函数的能量逼近，而不是只拟合图上一个点。

有限维弱问题

设 $H$ 为实 Hilbert 空间，弱问题为求 $u\in H$，使 $$a(u,v)=\ell (v)\mathrm{\forall }v\in H.$$ 取有限维子空间 $V_h\subset H$，Galerkin 近似满足同一方程，但仅测试 $v_h\in V_h$。若基为 ${\varphi }_1,\dots ,{\varphi }_m$，令 $u_h=\sum _j{c}_j{\varphi }_j$，则 $$\sum _{j=1}^{m}a({\varphi }_j,{\varphi }_i)c_j=\ell ({\varphi }_i),i=1,\dots ,m.$$ 连续分片基给出有限元法，全局正交基可给出谱方法。二者的基函数与实现不同，但此处同属相同弱投影原则。平衡通量讲义中的有限元弱形式也展示了同一 Galerkin 结构。

Céa 估计的证明

假设双线性型满足有界性 $|a(w,v)|\le M\Vert w{\Vert }_H\Vert v{\Vert }_H$，以及强制性 $a(v,v)\ge \alpha \Vert v{\Vert }_H^2$，其中 $M<\mathrm{\infty },\alpha >0$；$\ell$ 是连续线性泛函。这些条件保证弱问题和有限维问题各有唯一解。

将两份弱方程相减，得到 Galerkin 正交 $$a(u-u_h,v_h)=0\mathrm{\forall }{v}_h\in V_h.$$ 记 $e=u-u_h$，任取 $w_h\in V_h$。因为 $u_h-w_h\in V_h$，有 $$\alpha \Vert e{\Vert }_H^2\le a(e,e)=a(e,u-w_h)+a(e,w_h-u_h)=a(e,u-w_h)\le M\Vert e{\Vert }_H\Vert u-w_h{\Vert }_H.$$ 若误差非零，约去其范数，再对 $w_h$ 取下确界，得到 $$\Vert u-u_h{\Vert }_H\le \frac{M}{\alpha }\underset{w_h\in V_h}{inf}\Vert u-w_h{\Vert }_H.$$ 误差为零时不等式也成立。这说明离散误差不超过空间最佳逼近的一个固定倍数。对称正定的情形，用 $a$ 定义能量内积，正交展开进一步给出常数为一的最佳逼近；一般非对称情形不能直接称为正交投影最短距离。

多个模式与可复算误差

对 Poisson 例子，正弦导数的正交性使不同模式解耦。对奇数 $k$，载荷积分为 $2/(k\pi )$，刚度为 $k^2{\pi }^2/2$，所以系数为 $4/(k^3{\pi }^3)$；偶数模式的载荷为零。取 $k=1,3$ 得 $$u_2(x)=\frac{4}{{\pi }^3}\sin \pi x+\frac{4}{27{\pi }^3}\sin 3\pi x.$$ 中点为 $104/(27{\pi }^3)$。由于 $\Vert u^{\prime }{\Vert }_{L^2}^2=1/12$，Galerkin 正交给出一个无需数值微分的误差式： $$\Vert u^{\prime }-{u_h}^{\prime }{\Vert }_{L^2}^2=\frac{1}{12}-\sum _{k\in 𝒦}\frac{8}{k^4{\pi }^4},$$ 其中 $𝒦$ 是保留的奇数频率。增加模式后能量误差不增；点值误差则不一定每个点都单调改善。

有解变式只用 $\varphi =x(1-x)$ 作基。计算 $\int \varphi {\text{'}}^2=1/3$、$\int \varphi =1/6$，系数为 $1/2$，此时近似恰等于真解。一个精心匹配的基可能比若干不匹配的基更有效，但实际计算通常并不知道真解形式，需要系统可扩展的空间。

正弦 Galerkin 的可运行实现

代码只针对本例的常数右端，使用已精确计算的模态系数。输入一组互异正整数频率，返回求值函数及系数，不修改输入。构造和每次求值均需 $O(m)$ 时间，存储为 $O(m)$；一般非对角 Galerkin 矩阵还需装配和线性求解成本。

Python 3

import math


def poisson_sine_galerkin(frequencies):
    ks = list(frequencies)
    if not ks or any(not isinstance(k, int) or k <= 0 for k in ks) or len(set(ks)) != len(ks):
        raise ValueError("distinct positive integer frequencies required")
    coefficients = {k: 4/(k**3*math.pi**3) if k % 2 else 0.0 for k in ks}
    def solution(x):
        x = float(x)
        if not math.isfinite(x) or not 0 <= x <= 1:
            raise ValueError("x must lie in [0,1]")
        return sum(c*math.sin(k*math.pi*x) for k, c in coefficients.items())
    return solution, coefficients


one, _ = poisson_sine_galerkin([1])
two, _ = poisson_sine_galerkin([1, 3])
print(one(0.5), two(0.5))
print(4/math.pi**3, 104/(27*math.pi**3))  # independent midpoint formulas

不满足强制性时的边界

对流占优方程、不可压流的混合形式或约束系统，直接使用同一试探测试空间可能不稳定。Petrov–Galerkin 允许不同测试空间，混合方法需检查 inf-sup 条件，稳定化则修改相应形式。这些方法仍可用弱方程组织，但不能无条件使用上面的强制性估计。数值积分近似和边界实现也可能引入额外一致性误差，需要在理论与验收中列出。