偏态正态分布

偏态正态分布（skew-normal distribution）在正态密度上加入一个形状参数，以保持单峰、薄尾的同时允许不对称。位置 $\xi \in ℝ$、尺度 $\omega >0$ 与形状 $\alpha \in ℝ$ 决定分布；位置和尺度一般不等于均值和标准差。

例如，取形状一、位置十、尺度二，得到的分布在十右侧有四分之三的概率，均值也偏到十的右侧。因此“位置十”并不表示左右概率各半。这个例子可以不用特殊函数，通过 $\Phi (z{)}^2$ 直接计算。

密度及对称配对归一化

令 $\varphi ,\Phi$ 分别为标准正态密度和CDF，$z=(x-\xi )/\omega$。定义 $$f_X(x)=\frac{2}{\omega }\varphi (z)\Phi (\alpha z),x\in ℝ.$$ 有限形状下闭支撑是整条实轴，单点概率均为零。当 $\alpha =0$ 时，$\Phi (0)=1/2$，恢复 $N(\xi ,{\omega }^2)$。

为验证标准密度积分一，记 $I=\int 2\varphi (z)\Phi (\alpha z)\mathrm{d}z$。作 $z\mapsto -z$ 得另一表达 $I=\int 2\varphi (z)\Phi (-\alpha z)\mathrm{d}z$。两式相加，利用 $\Phi (t)+\Phi (-t)=1$，得到 $2I=2\int \varphi (z)\mathrm{d}z=2$。这也说明改变形状的正负会把密度左右反射。又有 $f_Z(z)\le 2\varphi (z)$，所以所有正阶绝对矩都有限。

形状符号改变带来左右镜像，零形状恢复标准正态。

条件筛选与随机构造

置 $\delta =\alpha /\sqrt{1+{\alpha }^2}$。取独立标准正态变量 $U,V$，令 $W=\delta U+\sqrt{1-{\delta }^2}V$。联合正态的条件分布为 $U\mid W=w\sim N(\delta w,1-{\delta }^2)$，所以 $$f_{W\mid U>0}(w)=\frac{\varphi (w)Pr(U>0\mid W=w)}{Pr(U>0)}=2\varphi (w)\Phi \left(\frac{\delta w}{\sqrt{1-{\delta }^2}}\right)=2\varphi (w)\Phi (\alpha w).$$ 在 $U>0$ 的条件下 U 变成半正态，而独立 V 保持不变。因此也可以直接构造 $$Z=\delta |U|+\sqrt{1-{\delta }^2}V,X=\xi +\omega Z.$$ 这个构造明确了偏态来自对一个相关变量进行正半轴筛选，而不是简单地把整个正态曲线平移。

由半正态积分 $𝔼|U|=\sqrt{2/\pi }$、$\mathrm{Var}(|U|)=1-2/\pi$，再利用两项独立，可得 $$𝔼X=\xi +\omega \delta \sqrt{2/\pi },\mathrm{Var}(X)={\omega }^2(1-2{\delta }^2/\pi ).$$ 参数 α 控制偏斜，但不是按三阶中心矩定义的偏度数值；也不能把 ω 直接用作原变量标准差。

形状一的完整概率例

当 $\alpha =1$ 时，$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\Phi (z{)}^2=2\varphi (z)\Phi (z)$，且左端极限为零，因此 $F_Z(z)=\Phi (z{)}^2$。主例 $\xi =10,\omega =2$ 给出 $$Pr(X>10)=1-\Phi (0{)}^2=\frac{3}{4},𝔼X=10+\frac{2}{\sqrt{\pi }}\approx 11.128379,$$ $$\mathrm{Var}(X)=4(1-1/\pi )\approx \mathrm{2.726760.}$$ 图中偏态CDF在标准化零点处为四分之一，正态CDF则为二分之一。

在 z=0 处，偏态CDF为1/4，正态CDF为1/2；其上尾概率相应为3/4与1/2。

作为变式，把形状改为负一，其他参数不变。由反射性，$Pr(X>10)=1/4$，均值变成 $10-2/\sqrt{\pi }\approx 8.871621$，方差不变。仅改变形状符号，同时改变中心摘要和左右概率，不能把它当作移动位置参数的另一种写法。

当 $\alpha \to +\mathrm{\infty }$ 时，标准变量趋向半正态；这是参数趋向无穷的极限，任意有限 α 的左侧概率仍为正。偏态正态的尾部仍受正态密度控制，不能靠增大 α 来产生帕累托式幂尾。若数据明显厚尾或多峰，单一偏态正态未必能解释这些特征。