停时

停时（stopping time）是能根据当时已经获得的信息决定是否停止的随机时刻。它可以取决于过去和当前观测，却不能为了判定“现在停止”而先查看未来。停止规则是否合格，取决于所用滤过，而不只取决于一个时刻的分布。

可判定事件的定义

对离散时间滤过 $({ℱ}_n{)}_{n\ge 0}$，取值于 $\{0,1,2,\dots \}\cup \{\mathrm{\infty }\}$ 的随机变量 $\tau$ 是停时，若每个 $n$ 都满足 $$\{\tau \le n\}\in {ℱ}_n.$$ 这表示在时刻 $n$ 可以判断“已经停过没有”。在离散时间，它等价于 $\{\tau =n\}\in {ℱ}_n$：一个方向对有限个事件取并，另一方向用 $\{\tau =n\}=\{\tau \le n\}\setminus \{\tau \le n-1\}$。

首次正面与固定截止

依次掷三次公平硬币，${ℱ}_n$ 只包含前 $n$ 次结果。设 $\tau$ 为首次出现正面的时刻，但最晚第三次就停止；即 $\tau =min(inf\{n:\text{第n次为正面}\},3)$。第一步正面就能停止；第一步反面、第二步正面则第二步停；前两步都是反面则第三步无论结果都停。

决定是否停止只读取当前前缀。第三步停止包含最后一次正面和最后一次反面两种结果，因为三次是固定截止。

所以 $Pr(\tau =1)=1/2$、$Pr(\tau =2)=1/4$、$Pr(\tau =3)=1/4$，期望为 $7/4$。如果没有三次截止，而是在无限独立硬币序列中等待第一次正面，停时期望为二；这已经是另一个停止规则。

反例是“三次记录中最后一个正面出现的时刻”，无正面时约定为三。在第一步已经正面时，若后面是反反，最后正面时刻为一；若后面还有正面，则不是一。两条历史的当前信息完全相同，却对是否已经停止给出不同答案，因此该规则不是自然滤过下的停时。

常见构造

若过程 $X_n$ 适应于滤过，集合 $B$ 是状态空间中的可测集合，则首次进入时刻 ${\tau }_B=inf\{n\ge 0:X_n\in B\}$ 是停时。因为 $$\{{\tau }_B\le n\}=\bigcup _{k=0}^n\{X_k\in B\}\in {ℱ}_n.$$ 这里的证明直接使用有限并；连续时间版本还要处理路径正则性与滤过条件，不能把对所有实数时刻的不可数并原样照搬。

若 $S,T$ 是停时，则 $S\wedge T$ 和 $S\vee T$ 也都是停时，分别因为“最早者已停”等于两个已停事件的并，“最晚者已停”等于交。固定截止 $\tau \wedge N$ 因而仍合法。

停止过程的增量

定义停止后的过程 $X_n^{\tau }=X_{n\wedge \tau }$。其一步增量满足 $$X_{n+1}^{\tau }-X_n^{\tau }=1_{\{\tau >n\}}(X_{n+1}-X_n).$$ 是否尚未停止属于 ${ℱ}_n$，所以若 $X_n$ 是可积鞅，停止过程在每个有限时刻仍可积，而且条件增量均值为零，也仍是鞅。若是上鞅或次鞅，相同计算保留对应不等式。可积性来自 $X_{n\wedge \tau }$ 只取有限个 $X_0,\dots ,X_n$ 中的值，不需要先假设无界的 $X_{\tau }$ 可积。

变式。 取公平正负一步游走 $S_n$，仍使用“首次正增量或第三步”的停止规则。八条等概率三步历史的停止值依次为：第一步正的四条都是一；反正开头的两条都是零；反反正为负一；反反反为负三。平均为 $(4+0-1-3)/8=0$，与初始值相同。这是有界停时定理的具体核对，而不是说所有停止值都非负。

停止后的过程保持鞅，与无界停止值保持期望是不同结论。要从每个有限 $n$ 的期望关系推进到 $n\to \mathrm{\infty }$，还需控制极限与可积性。