克罗内克积

克罗内克积（Kronecker product）将两个矩阵组成一个分块矩阵。若 $A=(a_{ij})\in {ℝ}^{m\times n}$、$B\in {ℝ}^{p\times q}$，定义 $$A\otimes B=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}B& \cdots & a_{1n}B\\ ⋮& & ⋮\\ a_{m1}B& \cdots & a_{mn}B\end{array}\right)\in {ℝ}^{mp\times nq}.$$ 外层索引决定选哪个块，内层索引决定块中哪个元素。它与要求内维相等的普通矩阵乘法不同，也与逐元素相乘不同。

取 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right)$、$B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 3\end{array}\right)$。按照四个块逐一填入，得到 $$A\otimes B=\left(\begin{array}{cccc}2& 0& 4& 0\\ 1& 3& 2& 6\\ 0& 0& -2& 0\\ 0& 0& -1& -3\end{array}\right).$$ 左上块是 $B$，右上块是 $2B$；零块和负块同样保留它们在外层矩阵中的位置。

粗分界线区分外层的四个块，块内仍是B的行列顺序。

索引公式与复合坐标

把行号写成一对 $(i,\alpha )$，其中 $1\le i\le m$、$1\le \alpha \le p$；列号写成 $(j,\beta )$。按先外层、后内层的顺序堆叠时， $$(A\otimes B{)}_{(i-1)p+\alpha ,(j-1)q+\beta }=a_{ij}{b}_{\alpha \beta }.$$ 例如第二区块列、第一块行里的第二行第一列，对应整体的第二行第三列，其值为 $a_{12}{b}_{21}=2\cdot 1=2$。索引公式能在矩阵很大时避免靠视觉猜块位置。

若向量 $u=(u_1,\dots ,u_n{)}^{𝖳}$、$v\in {ℝ}^q$，其积向量按块定义为 $u\otimes v=(u_1{v}^{𝖳},\dots ,u_n{v}^{𝖳}{)}^{𝖳}$。第 $(i,\alpha )$ 个输出为 $$\sum _{j=1}^n\sum _{\beta =1}^q{a}_{ij}{b}_{\alpha \beta }{u}_j{v}_{\beta }=\left(\sum _j{a}_{ij}{u}_j\right)\left(\sum _{\beta }{b}_{\alpha \beta }{v}_{\beta }\right),$$ 所以 $$(A\otimes B)(u\otimes v)=(Au)\otimes (Bv).$$ 这说明它怎样让两个坐标系统各自受变换，再组合成一个输出。

混合乘积恒等式的证明

设 $A\in {ℝ}^{m\times n}$、$C\in {ℝ}^{n\times r}$、$B\in {ℝ}^{p\times q}$、$D\in {ℝ}^{q\times s}$。这些尺寸保证两边都存在，此时 $$(A\otimes B)(C\otimes D)=(AC)\otimes (BD).$$ 左边在复合行 $(i,\alpha )$、复合列 $(k,\gamma )$ 的元素为 $$\sum _{j=1}^n\sum _{\beta =1}^q{a}_{ij}{b}_{\alpha \beta }{c}_{jk}{d}_{\beta \gamma }=\left(\sum _j{a}_{ij}{c}_{jk}\right)\left(\sum _{\beta }{b}_{\alpha \beta }{d}_{\beta \gamma }\right).$$ 两个独立有限和可以分离，恰好得到右边对应元素。这一步依赖尺寸相容，不能从符号外形直接套用。由同一公式，当 $A,B$ 均为可逆方阵时，$(A\otimes B{)}^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}$。

用主例取 $u=(1,2{)}^{𝖳}$、$v=(1,-1{)}^{𝖳}$。有 $Au=(5,-2{)}^{𝖳}$、$Bv=(2,-2{)}^{𝖳}$，故输出为 $(10,-10,-4,4{)}^{𝖳}$。也可把输入 $u\otimes v=(1,-1,2,-2{)}^{𝖳}$ 代入四乘四矩阵逐行相乘，得到同一结果。

次序与向量化

克罗内克积一般不交换。主例中 $B\otimes A$ 的第一行为 $(2,4,0,0)$，与 $A\otimes B$ 的第一行 $(2,0,4,0)$ 不同。对调两种复合索引可用置换矩阵联系这两个结果，但“重新排列后相关”不等于“原矩阵相等”。

对按列堆叠的矩阵向量化，有 $$\mathrm{vec}(AXB)=(B^{𝖳}\otimes A)\mathrm{vec}(X).$$ 这里 $A\in {ℝ}^{m\times n}$、$X\in {ℝ}^{n\times p}$、$B\in {ℝ}^{p\times q}$，两边都是 $mq$ 维向量。转置和次序来自列索引的组织方式，而不是可随意改变的书写习惯。

变式取 $A=\mathrm{diag}(2,3)$，$B=\mathrm{diag}(5,7)$。克罗内克积为 $\mathrm{diag}(10,14,15,21)$。更一般地，若 $Au=\lambda u$、$Bv=\mu v$ 且两向量非零，上面的向量恒等式给出 $(A\otimes B)(u\otimes v)=\lambda \mu (u\otimes v)$，因此组合方向的特征值是两者的乘积。这提供了有结构的大矩阵的一种计算途径，无需先展开全部元素。