全微分

对二元函数 $z = f (x, y)$ ，若它在 $(a, b)$ 可微，微小输入改变量 $(Δ x, Δ y)$ 引起的输出变化，可由一个线性式作为主要部分： $Δ z = f_{x} (a, b) Δ x + f_{y} (a, b) Δ y + o (\sqrt{Δ x^{2} + Δ y^{2}}) .$ 这个线性主要部分 $d z = f_{x} (a, b) d x + f_{y} (a, b) d y$ 称全微分。它同时考虑两个输入的变化，而不只是沿某一坐标轴求偏导数。

一次可核对的近似

设 $f (x, y) = x^{2} + x y$ ，在 $(1, 2)$ 有 $f = 3$ 、 $f_{x} = 2 x + y = 4$ 、 $f_{y} = x = 1$ 。令 $d x = 0.01$ 、 $d y = - 0.02$ ，全微分预测 $d z = 4 (0.01) + 1 (- 0.02) = 0.02$ ，所以新值约为3.02。

直接计算 $f (1.01, 1.98) = 1.0201 + 1.9998 = 3.0199$ ，实际变化为0.0199，与预测只差 $- 0.0001$ 。差值来自二次小量：展开原式可得 $Δ z = 4 Δ x + Δ y + (Δ x)^{2} + Δ x Δ y .$ 最后两项代数值为 $0.0001 - 0.0002 = - 0.0001$ ，解释了误差的来源。

可微性比有偏导更强

$f_{x} (a, b)$ 和 $f_{y} (a, b)$ 只分别检查横向、纵向变化；若要一个线性式同时近似所有方向，必须要求可微。例如定义 $h (x, y) = x y / (x^{2} + y^{2})$ （不在原点时），并规定 $h (0, 0) = 0$ 。沿两坐标轴它恒为零，两个偏导都为零；沿 $y = x \neq 0$ 却恒为 $1 / 2$ ，甚至不连续，当然不可微。若偏导数在点附近存在并连续，则可微是一个常用的充分条件。

全微分给出曲面在点附近的切平面： $z \approx f (a, b) + f_{x} (a, b) (x - a) + f_{y} (a, b) (y - b)$ 。它是局部近似，不表示函数在整个区域都等于这个平面。

参考资料

OpenStax《Calculus Volume 3》§4.4：全微分、切平面和近似误差。
同书 §4.3：偏导数与多元变化。