全称量词与存在量词

全称量词说“范围内每个对象都如此”，记为 $\mathrm{\forall }$；存在量词说“范围内至少有一个对象如此”，记为 $\mathrm{\exists }$。它们把带变量的条件变成可判断真假的命题。每次写量词都应同时说明对象范围，否则同一句话可能改变真值。

一个数够证明什么

在实数范围内，$\mathrm{\forall }x\in ℝ(x^2\ge 0)$ 为真：任意实数的平方都非负。它不是由几个代入结果证明的，而由平方的性质覆盖全部实数。命题 $\mathrm{\exists }x\in ℝ(x^2=2)$ 也为真，只须举出 $x=\sqrt{2}$。证明存在命题，一个合格对象就够；反驳全称命题，一个反例就够。

若把前一个命题中的范围改成复数，就必须先说明复数怎样比较大小；通常的 $\ge$ 并未给全体复数定义与实数相同的次序。先写论域，再讨论命题，是使用量词的第一步。

否定时，量词和判断一起改变

“不是每个人都通过”表示至少有一人没通过，并不表示“人人都没通过”。同理，对一个明确的集合 $D$，有 $$\mathrm{\neg }(\mathrm{\forall }x\in DP(x))⟺\mathrm{\exists }x\in D\mathrm{\neg }P(x),$$ $$\mathrm{\neg }(\mathrm{\exists }x\in DP(x))⟺\mathrm{\forall }x\in D\mathrm{\neg }P(x).$$ 例如否定“所有实数都满足 $x^2\ge 1$”，应写“存在实数 $x$ 满足 $x^2<1$”。$x=0$ 使否定后的命题为真。这里既把“所有”改成“存在”，也把 $\ge$ 改成 $<$。

否定“存在整数 $n$ 使 $n^2=2$”，则写“每个整数 $n$ 都有 $n^2\ne 2$”。不能只在原句前加一个“不”而不说明否定的是存在、等号还是范围。

两个量词的先后

$\mathrm{\forall }x\in ℝ\mathrm{\exists }y\in ℝ(y>x)$ 为真：给定 $x$ 后可取 $y=x+1$。若交换次序，$\mathrm{\exists }y\in ℝ\mathrm{\forall }x\in ℝ(y>x)$ 为假：无论先选哪一个 $y$，取 $x=y+1$ 就使不等式失败。前一句的 $y$ 可以随 $x$ 变化，后一句却要求一个固定的 $y$ 管住所有 $x$。

可以用一句小练习检验：否定“每个实数 $x$ 都存在实数 $y$ 使 $y>x$”应怎样写？答案是 $\mathrm{\exists }x\in ℝ\mathrm{\forall }y\in ℝ(y\le x)$。从外向内逐个翻转量词，最后否定比较关系，便能保留原来的依赖次序；这个否定在实数中是假命题。

参考资料

• Open Logic Project，《forall x: Calgary》：量词、否定与变量论域。本站例子独立编写。
• 先修：集合、数学命题；后续：充分条件与必要条件、直接证明与逆否证明。