共心圆与相切圆

两个圆的圆心相同，叫共心圆。若它们是不同的圆，半径必不相同；这样的两个圆既不能交于两点，也不能只在一点相切。这合并了《几何原本》第三卷命题 5 和 6。

共同点会带来矛盾

设共同圆心为 $O$，半径为 $R\ne r$。若存在共同点 $X$，按第一个圆的定义有 $OX=R$，按第二个圆的定义又有 $OX=r$，从而 $R=r$，矛盾。一个共同点也没有，就不可能相交或相切。

若 $R=r$，两圆完全重合，共同点无穷多；它们不属于“两个不同圆相切”的情形。这个边界条件不可省略。不同圆若要相切，其圆心和切点的位置关系见两圆相切的连心线。

参考资料

• 《几何原本》III.5：相交圆不能共心。
• 《几何原本》III.6：相切圆不能共心。