内切圆与内心

三角形三条内角平分线交于一点 $I$，称为内心。从 $I$ 向三边作垂线，三段垂距相等，因此以 $I$ 为圆心、共同垂距 $r$ 为半径的圆恰与三边相切，称为内切圆。这里的“到边的距离”是到所在直线的最短垂距，而非到某个顶点的距离。

角平分线与等距

角内任一点若在角平分线上，向两边作垂线会得到一对有共同斜边、一个锐角相同的直角三角形，故两条垂距相等。反过来，角内到两边距离相等的点位于角平分线上。前两条内角平分线的交点同时与三边等距，因此也位于第三条角平分线上；这说明三线共点，不是凭图像猜测。

图中采用 3-4-5 直角三角形。内心 $I=(1,1)$ 到三边的垂足是 $D=(0,1)$、$E=(1,0)$、$F=(1.6,1.8)$，三段垂距均为 1；与边上的切点对应，而不是到顶点等距。

三条半径终点是边上的切点；IA、IB、IC一般不相等。

把三角形面积按内心与三个顶点相连，分成三个以原三边为底、高均为 $r$ 的三角形。若三边长为 $a,b,c$、半周长 $s=(a+b+c)/2$，则 $$K=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr=rs.$$ 这既是面积公式，也是求内切圆半径的方法。3-4-5 直角三角形面积 $K=6$、半周长 $s=6$，故 $r=1$。

内心始终在三角形内部；外心却可能在三角形外部。两个中心满足的是不同的等距条件：内心到边等距，外心到顶点等距。

参考资料

• 《几何原本》IV.4：在三角形内作内切圆。
• NDSU《Axiomatic Geometry》几何讲义。
• 继续阅读：角平分线定理、外接圆与外心、海伦公式。