角平分线定理

在三角形 $ABC$ 中，若内角 $A$ 的平分线与对边 $BC$ 交于 $D$，角平分线定理说 $$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}.$$ 它比较的是对边分成的两段与夹角两侧的两条边；不是说平分线把对边也平分。只有 $AB=AC$ 时才有 $BD=DC$。

用两种面积表达作证明

三角形 $ABD$ 与 $ACD$ 以 $BD,DC$ 为底时，共享从 $A$ 到 $BC$ 的高度，所以面积比为 $BD/DC$。改用两边及夹角的面积公式，又有 $$\frac{[ABD]}{[ACD]}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot AD\sin \mathrm{\angle }BAD}{\frac{1}{2}AC\cdot AD\sin \mathrm{\angle }DAC}=\frac{AB}{AC}.$$ 最后一步才使用 $\mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }DAC$。两种面积比指向同一对三角形，因而得到定理。

若 $AB=6$、$AC=9$、$BC=10$，则 $BD:DC=2:3$，并且 $BD+DC=10$；解得 $BD=4,DC=6$。检查 $4/6=6/9$。定理在此只用于内部角平分线；外角平分线与对边延长线相交时涉及有向线段或外分，不能直接把 $BD,DC$ 当两段正长度套入同一句话。

图中的两块淡色三角形共享 $AD$。以 $BC$ 为底比较时，面积比读成 $4:6$；绕到 $A$ 点，以 $AD$ 为一边比较时，因两个夹角相等，面积比读成 $6:9$。

同一对三角形的面积比既等于底边比4比6，也等于邻边比6比9。

参考资料

• 《几何原本》VI.3。
• NDSU《Axiomatic Geometry》几何讲义。
• 继续阅读：三角形相似、内切圆与内心、三角形的面积公式。