冯米塞斯－费舍尔分布

冯米塞斯－费舍尔分布（von Mises–Fisher distribution，vMF）是一类定义在单位球面上的方向分布。随机向量的长度恒为一，变化的是方向；平均方向向量 $\mu$ 也要求为单位向量。它将圆周上的冯米塞斯分布推广到更高维球面。

密度相对于球面面积

对 $p\ge 2$，单位球面 $S^{p-1}=\{x\in {ℝ}^p:\Vert x{\Vert }_2=1\}$ 上的密度定义为 $$f(x\mid \mu ,\kappa )=C_p(\kappa )e^{\kappa {\mu }^{𝖳}x},C_p(\kappa )=\frac{{\kappa }^{p/2-1}}{(2\pi {)}^{p/2}{I}_{p/2-1}(\kappa )},\kappa >0.$$ 这里 $I_{\alpha }$ 为第一类修正贝塞尔函数，密度相对于球面面积测度，而不是整个 ${ℝ}^p$ 的体积。${\mu }^{𝖳}x=\cos \theta$ 给出两方向夹角。$\kappa =0$ 用连续极限定义为球面均匀分布，此时方向参数没有意义。

三维球面上的归一化推导

考虑 $p=3$，旋转坐标使 $\mu =(0,0,1{)}^{𝖳}$。用极角 $\theta \in [0,\pi ]$、方位角 $\varphi \in [0,2\pi )$ 表示球面点，面积元为 $\sin \theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi$。所以未归一化密度的积分是 $${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }{e}^{\kappa \cos \theta }\sin \theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi =2\pi {\int }_{-1}^1{e}^{\kappa z}\mathrm{d}z=\frac{4\pi \sinh \kappa }{\kappa }.$$ 第一处代换 $z=\cos \theta$，同时把积分上下限颠倒。因此 $$f(x)=\frac{\kappa }{4\pi \sinh \kappa }{e}^{\kappa x_3},x\in S^2.$$ 若忽略面积元中的正弦，把极角均匀抽取，得到的就不是均匀球面点，也不会给出这个分布。

高度变量与球冠概率

同样的代换给出高度 $Z={\mu }^{𝖳}X=X_3$ 的一维密度 $$f_Z(z)=\frac{\kappa e^{\kappa z}}{2\sinh \kappa },-1\le z\le 1.$$ 于是方向与 $\mu$ 的夹角不超过 $\arccos c$ 的球冠概率为 $$Pr(Z\ge c)=\frac{e^{\kappa }-e^{\kappa c}}{e^{\kappa }-e^{-\kappa }},-1\le c\le 1.$$ 这是对球冠的概率，不是把某个极角处的密度乘以角度宽度。

高度越接近一，方向越靠近平均方向。涂色面积是同向半球的概率，约为0.8808。

取 $\kappa =2,c=0$， $$Pr({\mu }^{𝖳}X\ge 0)=\frac{e^2-1}{e^2-e^{-2}}=\frac{e^2}{e^2+1}\approx \mathrm{0.8808.}$$ 若分布均匀，这个概率应为二分之一。改变集中程度而保持方向不变，会直接改变落在同向半球内的质量。

平均向量的长度

绕 $\mu$ 的旋转对称性使平均向量必与 $\mu$ 平行。其长度由 $𝔼[Z]$ 决定。对归一化积分的对数求导，或直接对 $z{f}_Z(z)$ 积分，得到 $$𝔼[Z]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\kappa }\log \left(\frac{2\sinh \kappa }{\kappa }\right)=\coth \kappa -\frac{1}{\kappa }.$$ 所以 $𝔼[X]=(\coth \kappa -1/\kappa )\mu$。在 $\kappa =2$ 时长度约 $0.5373$，小于一。平均方向是 $\mu$，但随机向量的普通期望不是单位向量本身。

变式。 求夹角不超过六十度的概率。此时 $c=\cos 60^{\circ }=1/2$，$\kappa =2$ 时结果为 $(e^2-e)/(e^2-e^{-2})\approx 0.6439$。均匀球面时则为 $(1-c)/2=1/4$，这可用球冠面积占整球面的比例核对。

方向模型的边界

vMF 是围绕一个方向旋转对称的单峰模型，同一个极角上的各方位角具有相同密度。如果数据沿赤道形成一圈、围绕一条无向轴对称，或者存在多个方向峰，就需要不同的方向模型或混合模型。把带长度的数据先归一化，也会主动丢掉幅值；是否允许这一步，应由观测问题决定。