准似然

准似然（quasi-likelihood）根据响应的均值与方差关系建立类似似然得分的估计方法，不要求预先指定响应的全部概率分布。它适合这样的分析目标：均值模型有实际依据，完整分布却难以合理确定。

取四个独立的教学计数 $0,2,2,8$。样本平均为三；泊松分布要求总体方差等于均值，但这组数据的离差平方和为三十六，样本方差为十二。有限样本的这种差异不是过度离散的自动证明，却提示应检查方差假设，而不是只接受软件默认的泊松标准误。

由均值—方差关系积分

先设单个非负响应满足 $𝔼Y=\mu >0$、$\mathrm{Var}(Y)=\phi \mu$，其中 $\phi >0$ 是离散程度参数。定义准得分 $$\frac{\partial Q(y,\mu )}{\partial \mu }=\frac{y-\mu }{\phi \mu }.$$ 右端在真均值处期望为零。对 $\mu$ 积分，得到 $$Q(y,\mu )=\frac{y\log \mu -\mu }{\phi }+C(y).$$ 与均值无关的项可以忽略；零观测的 $y\log \mu$ 为零，不需要对零观测取对数。这是满足指定导数的准似然函数，不能仅由它断言 $Y$ 的完整分布已经确定。准似然和估计方程的联系可见Wang讲义。

若独立响应具有共同均值，求和后的准得分为 $\sum _i(y_i-\mu )/(\phi \mu )$。在样本和为正时，唯一零点是 $\hat{\mu }=\bar{y}$；总准对数函数的二阶导数为 $-\sum _i{y}_i/(\phi {\mu }^2)<0$，所以该零点是唯一最大值。主例得到 $\hat{\mu }=3$。

图显示指数化准目标的相对高度，不能当作均值参数的概率密度。离散参数改变曲率，却不改变这个共同均值方程的根。

同一个均值，不同的不确定性

只要独立观测确有上述相同均值—方差关系，样本均值的方差就精确为 $$\mathrm{Var}(\bar{Y})=\frac{\phi \mu }{n}.$$ 这里方差计算不需要正态近似。近似常态的置信区间则还要中心极限定理及足够样本量，不能由均值和方差的代数公式直接获得。

常用的矩估计以拟合后的Pearson离差计算 $\phi$。本例只拟合一个均值参数，取 $$\begin{array}{cc}\hat{\phi }& =\frac{1}{n-1}\sum _i\frac{(y_i-\bar{y}{)}^2}{\bar{y}}\\ & =\frac{36}{3\times 3}=4.\end{array}$$ 代入估计方差得到 $\widehat{\mathrm{Var}}(\hat{\mu })=4\times 3/4=3$；泊松的固定离散参数一则报 $3/4$。标准误分别为 $\sqrt{3}$ 与 $\sqrt{3/4}$。四次观测下离散程度估计本身也很不稳定，这些数值用于展示计算差异，不是稳定区间覆盖率的保证。

回归模型中的准得分

若条件均值 ${\mu }_i={\mu }_i(\beta )$ 依赖固定设计变量，并假定独立、方差函数 $V_i({\mu }_i)>0$，链式法则给出 $$U(\beta )=\sum _i\frac{\partial {\mu }_i}{\partial \beta }\frac{y_i-{\mu }_i}{V_i({\mu }_i)}=0.$$ 这里梯度写成列向量，方程的维数与回归参数一致。若选择对数均值 ${\mu }_i=\exp (x_i^{𝖳}\beta )$、方差 $\phi {\mu }_i$，则梯度 $\partial {\mu }_i/\partial \beta ={\mu }_i{x}_i$，准得分简化为 $\sum _i{x}_i(y_i-{\mu }_i)/\phi =0$。

因此共同离散参数会从均值系数方程中约去；它仍影响标准误。准似然估计在均值模型正确时可以容许未指定的高阶分布形态，但偏差、漏掉的协变量或组内相关并不会自动消失。工作方差不正确时，通常还需按真实独立单位计算夹心协方差估计。

变式。 如果实验设计已知 $\phi =2$，主例均值仍为三，理论代入方差变为 $2\times 3/4=3/2$。没有发生估计中心的移动，只改变了把读数均值转换为精度的关系。

在准似然框架下，没有指定完整的正规化密度，就不能直接比较通常似然定义下的AIC，也不能把任意准目标差一律按Wilks定理校准。若改用负二项等完整分布模型，便加入了均值、方差以外的假设，应据该模型重新建立似然。