凸锥

凸锥（convex cone）是在非负线性组合下封闭的非空集合：若 $x,y\in K$、$\alpha ,\beta \ge 0$，则 $\alpha x+\beta y\in K$。本文采用包含零向量的约定；不要求集合在拓扑意义下闭。它与凸集的区别在于系数不必相加为一，因此允许沿方向任意放大。

令 $u=(1,0)$、$v=(1,2)$，由它们生成的锥是 $$K=\{\alpha u+\beta v:\alpha ,\beta \ge 0\}.$$ 每个点可写成 $(x,y)=(\alpha +\beta ,2\beta )$，因而满足 $x\ge 0,0\le y\le 2x$。反过来，满足这些不等式时取 $\beta =y/2$、$\alpha =x-y/2$ 即得非负表示，所以它正是两条射线之间的楔形区域。

非负系数给出锥内点，系数之和可以大于一。

点 $(2,3)$ 对应 $\alpha =1/2,\beta =3/2$，系数和为二；它在锥中，但不在只由 $0,u,v$ 构成的三角形内。图中沿边界射线向外延伸，正体现了锥没有固定总权重。

缩放、加法与凸性的对应

凸锥定义等价于同时满足：对任意非负标量封闭；对向量加法封闭。原定义分别取一个系数为零或两个系数为一，就得到这两个性质；反向先分别缩放 $x,y$，再相加，即得任意非负组合。

它也等价于“是锥且是凸集”：非负缩放与凸性给出 $x+y=2(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y)$，所以封闭于加法。仅满足缩放并不足以凸。例如非负坐标轴的并 $$K_0=\{(t,0):t\ge 0\}\cup \{(0,t):t\ge 0\}$$ 对非负缩放封闭，但 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 的中点 $(1/2,1/2)$ 不在其中。这个反例区分了几何口语中的“锥状”与严格的凸锥。

锥包的最小性

点集 $S$ 的锥包由全部有限非负组合组成，外加空和表示的零向量： $$\mathrm{cone}S=\{\sum _{i=1}^k{\alpha }_i{x}_i:k\ge 0,{\alpha }_i\ge 0,x_i\in S\}.$$ 它包含 $S$；两个组合相加或非负缩放后仍为同类组合，因此是凸锥；任何包含 $S$ 的凸锥都必须包含这些组合，所以它是最小者。对空集，该约定给出 $\mathrm{cone}\varnothing =\{0\}$。

主例由两个向量有限生成，改变生成向量长度不改变锥，例如把 $v$ 换为 $(2,4)$，只需把它的系数减半。变式若把 $v$ 换为 $(-1,0)$，正负两个水平方向都能生成，所得集合是整条横轴，已经是线性子空间。

线性部分与尖锥

凸锥可能包含整条直线。其线性部分为 $L=K\cap (-K)$。若 $x,y\in L$，它们的正负都在 $K$，所以 $x+y$ 的正负也在 $K$；任意实标量乘积也由正负缩放处理。因此 $L$ 是线性子空间。

若 $L=\{0\}$，称锥为尖的。主例楔形是尖锥：若 $(x,y)$ 与其负向量都满足 $x\ge 0$，则 $x=0$，再由 $0\le y\le 2x$ 得 $y=0$。半平面 $\{(x,y):y\ge 0\}$ 则含整条横轴，不是尖锥。尖性说的是有无双向自由方向，不是边界在图上看起来是否有一个尖角。

闭性与矩阵锥

凸锥不自动闭。例如 $K=\{(x,y):y>0\}\cup \{(0,0)\}$ 对非负组合封闭，但序列 $(1,1/n)$ 在其中，极限 $(1,0)$ 却不在其中。需要闭锥时应显式说明，否则涉及极限、投影和对偶锥的结论可能缺少条件。

在对称矩阵构成的向量空间中，半正定矩阵也形成凸锥：若 $A,B⪰0$，非负组合对任意向量的二次型仍非负。锥的对象因此不局限于平面箭头；向量空间、非负系数和封闭运算才是共同结构。主例的二维图用于解释这种结构，并不定义所有凸锥的形状。