凹凸性与拐点

曲线的凹凸性描述斜率沿输入方向怎样变化：若导数 $f^{'}$ 在一段区间单调不减，函数在该区间称凸；若 $f^{'}$ 单调不增，函数称凹。直线函数同时满足这两个定义。拐点是连续曲线两侧凹凸性发生改变的点。

用二阶导数判断

对 $f (x) = x^{3} - 3 x$ ，有 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ 、 $f^{″} (x) = 6 x$ 。在 $x < 0$ 时二阶导数为负，斜率随 $x$ 增加而下降；在 $x > 0$ 时二阶导数为正，斜率上升。因此 $(0, 0)$ 是拐点。特别地 $f^{'} (0) = - 3$ ，拐点的切线不必水平。

二阶导数的判据来自拉格朗日中值定理：若 $f^{″} > 0$ ，任意 $u < v$ 都有 $f^{'} (v) - f^{'} (u) = f^{″} (c) (v - u) > 0$ ，故 $f^{'}$ 递增。斜率越往右越大，切线位于曲线下方的局部形状就显现出来。 $f^{″} < 0$ 时方向相反。

零点只是候选点

$f (x) = x^{4}$ 在0处 $f^{″} (0) = 0$ ，但 $f^{″} (x) = 12 x^{2} > 0$ 对两侧非零点都成立，所以0不是拐点。 $f (x) = x^{1 / 3}$ 在0处二阶导数没有定义，曲线却在两侧改变凹凸性；因此仅求 $f^{″} = 0$ 会漏掉某些候选点。可靠步骤是找二阶导数为零或不存在的位置，再比较两侧凹凸性，并确认函数在该点连续。

凹凸性也用于解释估计误差。凸函数的两点连线通常在曲线上方，而切线在曲线下方；以 $f (x) = x^{2}$ 为例， $x = 1$ 的切线 $2 x - 1$ 与曲线相差 $(x - 1)^{2} \geq 0$ 。这是凸函数一般性质的一个可直接计算的例子。

参考资料

OpenStax《Calculus Volume 1》§4.5：二阶导数、凹凸与拐点。
同书 §4.4：由导数符号推导单调性。