函数列的一致收敛

设函数 $f_{n} : E \to ℝ$ 。一致收敛到 $f$ 的意思是：给定误差 $ε > 0$ ，能找到一个下标 $N$ ，使所有 $n \geq N$ 且所有 $x \in E$ 都满足 $| f_{n} (x) - f (x) | < ε$ 。与逐点收敛相比，关键是同一个 $N$ 要适用于整个定义域。

一把尺量整个区间

在 $E = [0, 1]$ 上令 $f_{n} (x) = x / n$ ，极限 $f (x) = 0$ 。因为 $| f_{n} (x) - f (x) | \leq 1 / n$ 对所有 $x$ 成立，取 $N > 1 / ε$ 即得到一致收敛。这里的 $1 / n$ 是不依赖 $x$ 的统一误差界。

改取 $g_{n} (x) = x^{n}$ 。对每个 $x < 1$ ， $g_{n} (x) \to 0$ ；在 $x = 1$ ，值始终为 1。逐点极限在 1 处跳跃，因此无法一致收敛。更直接地，对任何 $n$ 都可选足够靠近 1 的 $x < 1$ 使 $x^{n} > 1 / 2$ ，所以误差不会在整个区间统一小于 $1 / 2$ 。

图把 $x, x^{4}, x^{16}$ 画在同一坐标下：对固定 $x < 1$ ，曲线确实越来越贴近横轴；但在右端点附近，每条曲线都会陡升至 1。空心圆表示极限在 $x = 1$ 的左侧趋向 0，实心圆表示极限函数在 1 处的值 1。

区间零到一上x、x的四次方、x的十六次方依次靠近横轴却都经过一点一；逐点极限在右端点由零跳到一 — 越靠近一，需要越大的下标才能保持小误差，因此没有整个区间通用的N。

定义域也参与结论

同样的 $x^{n}$ 若只看 $[0, r]$ ，其中 $r < 1$ 固定，则 $0 \leq x^{n} \leq r^{n} \to 0$ ，于是收敛是一致的。若看 $[0, 1)$ ，虽每点极限都为 0， $sup_{x < 1} x^{n} = 1$ ，仍不一致。边界点是否被包含不是唯一因素；真正决定性的是能否找到共同误差界。

参考资料