函数项级数

函数项级数把每一项由数字换成函数：$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n(x)$。对固定 $x$，它只是普通数值级数；但若要交换求和与连续性或积分，必须控制所有 $x$ 的误差。先看 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n=1/(1-x)$：对每个 $|x|<1$ 成立，在 $[-r,r]$ 且 $r<1$ 固定时一致收敛；在整个 $(-1,1)$ 上却不一致。

一致收敛的判据

若可找到非负常数 $M_n$，使 $|u_n(x)|\le M_n$ 对所有 $x\in E$ 成立，且 $\sum M_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 在 $E$ 上一致收敛。这叫魏尔斯特拉斯判别法。证明直接看尾和： $$|\sum _{n=N+1}^m{u}_n(x)|\le \sum _{n=N+1}^m{M}_n,$$ 右侧与 $x$ 无关，且可随 $N$ 增大而任意小。于是函数部分和一致柯西，从而一致收敛。

例如 $u_n(x)=\sin (nx)/n^2$，在整个实数轴上都有 $|u_n(x)|\le 1/n^2$，因此和函数连续。若各项在闭区间上连续，一致收敛还允许逐项积分；但逐项求导需要更强条件，不能从同一个判别法直接推出。

同一个级数在不同范围

对于几何级数，在 $[-r,r]$ 有统一尾界 $\sum _{n>N}{r}^n=r^{N+1}/(1-r)$；当 $r\uparrow 1$ 时，这个界不再统一趋零。选择定义域是结论的一部分，不能只说“级数一致收敛”而不写在哪里。

参考资料

• MIT 18.100B Real Analysis，函数项级数讲义。
• MIT 18.100A Fall 2020，实分析讲义。
• 继续阅读：函数列的一致收敛、一致收敛与连续性、幂级数。