函数的奇偶性

偶函数在相反输入处有相同输出，奇函数在相反输入处有互为相反数的输出。判断之前先检查定义域是否关于零对称；若 $x$ 允许而 $-x$ 根本不允许，$f(-x)$ 就不能用来比较。

公式中的对称性

设函数的定义域为 $D$，且每个 $x\in D$ 都有 $-x\in D$。若对所有 $x\in D$ 均有 $f(-x)=f(x)$，称 $f$ 为偶函数；若均有 $f(-x)=-f(x)$，称为奇函数。

例如 $f(x)=x^2$ 的定义域是全体实数，$f(-x)=(-x{)}^2=x^2=f(x)$，所以它是偶函数。$g(x)=x^3$ 满足 $g(-x)=-x^3=-g(x)$，所以是奇函数。它们的图像分别关于纵轴和原点对称：点 $(x,f(x))$ 分别对应 $(-x,f(x))$ 或 $(-x,-f(x))$。

一个反例足以排除整类

取 $h(x)=x^2+x$。有 $h(1)=2$、$h(-1)=0$；两数既不相等，也不互为相反数，因此 h 既非偶函数也非奇函数。不必把所有输入逐一检查：要推翻一个“对每个 x”成立的性质，只需找到一个失败的输入。

$q(x)=\sqrt{x}$ 在 $[0,\mathrm{\infty })$ 上有定义。虽然 $q(1)=1$，$q(-1)$ 却没有实数值；定义域不关于零对称，因而不能把 q 判作偶函数或奇函数。即使公式看上去与某个偶函数相似，定义域仍是函数的一部分。

对称性可以帮助计算什么

如果知道偶函数在非负输入上的图像，就能把每个点关于纵轴镜像到负半轴；奇函数则关于原点旋转半周。在零属于定义域时，奇函数还满足 $f(0)=-f(0)$，所以 $f(0)=0$。这并不反过来成立：$x^2-x$ 也在零处取零，却既不奇也不偶。

练习：$p(x)=x^4-2x^2+3$ 是奇函数还是偶函数？代入相反输入，$p(-x)=(-x{)}^4-2(-x{)}^2+3=p(x)$，且定义域为全体实数，所以是偶函数。若再加上一项 $x$，则取 $x=1$ 与 $-1$ 便能检查新函数不再具有这种对称性。

参考资料

• 人民教育出版社，《高中数学教材编写研究》前言：函数定义域与偶函数条件的教材研究问题。
• 继续阅读：函数的单调性与最值、单位圆与三角函数。