单位圆与三角函数

单位圆（unit circle）是圆心在原点、半径为 1 的圆。给一个实数角 $θ$ ，从正 $x$ 轴起逆时针转动 $θ$ 弧度，终边与单位圆交于 $P$ ；定义 $P$ 的横坐标为 $\cos θ$ ，纵坐标为 $\sin θ$ 。三角函数由此不仅能处理三角形，也能描述转动和周期变化。

角度变成两个坐标

单位圆上的点满足 $x^{2} + y^{2} = 1$ 。对于角 $θ$ 的终点， $P = (\cos θ, \sin θ), \cos^{2} θ + \sin^{2} θ = 1.$ 第二式不是一条需要背下来的孤立口诀，而是把点 $P$ 代入圆的方程得到的勾股定理。在第一象限，向横轴作垂线便得到一个直角三角形；两条直角边分别是 $\cos θ$ 和 $\sin θ$ 。到了第二、三、四象限，坐标可以为负，但定义仍适用。

单位圆上点P的横坐标为五分之三、纵坐标为五分之四，垂线投影到两轴，标出角theta与半径一 — 横、纵投影是余弦和正弦；两坐标的平方和为一。

图中的点取 $P = (3 / 5, 4 / 5)$ 。它确实在圆上，因为 $(3 / 5)^{2} + (4 / 5)^{2} = 1$ 。因此这个角的余弦为 $3 / 5$ ，正弦为 $4 / 5$ 。如果角在第二象限而高度仍为 $4 / 5$ ，对应点是 $(- 3 / 5, 4 / 5)$ ；正弦不变，余弦变号。这可从横轴方向的镜像直接看出。

从等边三角形得到特殊角

对边长为 2 的等边三角形，从一个顶点向对边中点作高。底边被平分为两段长 1，斜边长 2，高由勾股定理为 $\sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}$ 。将整个直角三角形按比例缩小一半，斜边变成 1。于是 $6 0^{\circ} = π / 3$ 时， $\cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}, \sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} .$ 另一个锐角为 $3 0^{\circ} = π / 6$ ，交换两条直角边，就有 $\cos (π / 6) = \sqrt{3} / 2$ 、 $\sin (π / 6) = 1 / 2$ 。这四个值来自一张直角三角形，而不是四条互不相干的记忆规则。

若角为 $5 π / 6$ ，它与正 $x$ 轴夹出的锐角仍是 $π / 6$ ，但终点在第二象限，因此 $(\cos \frac{5 π}{6}, \sin \frac{5 π}{6}) = (- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}) .$ 代回圆方程，横纵坐标的平方和仍是 1。

正切、周期与定义域

当 $\cos θ \neq 0$ 时，正切定义为 $\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ} .$ 在第一象限的直角三角形中，这是“竖直边长除以水平边长”；从原点连到 $P$ 的直线斜率也是这个比值。在 $θ = π / 2 + k π$ （ $k$ 为整数）处，横坐标为 0，不能除，所以正切没有定义。不能把这一处的“趋向无穷”写成一个实际的函数值。

转满一周回到同一终点，故 $\sin (θ + 2 π) = \sin θ$ 、 $\cos (θ + 2 π) = \cos θ$ 。转半周则到对径点，两个坐标同时变号。正切的分子、分母同时变号，所以在有定义的地方 $\tan (θ + π) = \tan θ$ 。正弦与余弦的值域均为 $[- 1, 1]$ ；正切没有这样的界。

半径改变后仍用同一套函数

半径为 $r$ 的圆上，对应终点是 $(r \cos θ, r \sin θ)$ 。例如一个半径 5 米的旋转臂，初始向右，转到 $θ = π / 6$ 时，端点相对圆心的位置为 $(5 \sqrt{3} / 2, 5 / 2)$ 米；其竖直高度为 2.5 米。这里是几何位置，不需要假设它匀速转动。若角度随时间变为 $θ (t)$ ，才进一步得到运动模型。

角度输入要区分度数与弧度： $\sin 3 0^{\circ} = 1 / 2$ ，而 $\sin 30$ 在通常的数学记法中把 30 视为弧度，结果并非 $1 / 2$ 。圆与弧度解释两种单位的换算；三角恒等式继续说明转角相加时坐标如何变化。

参考资料

OpenStax，Precalculus 2e，§5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions：单位圆定义和象限。
同书 §5.1 Angles：角度、弧度和标准位置。
继续阅读：三角恒等式、余弦定理、欧拉公式。