函数的定义域与值域

定义域是函数允许输入的全体，值域是实际得到的输出全体。两者都随函数的规则与输入限制而定；只写一个代数式，未必已经说明完整的函数。

同一公式的两种输入范围

设 $f(x)=(x-2{)}^2+1$。若输入是所有实数，平方项最小为零、向上没有上界，因此定义域为 $ℝ$，值域为 $[1,\mathrm{\infty })$。若任务限定 $0\le x\le 3$，定义域改为 $[0,3]$。在这段区间上，$x=2$ 给最小值1，$x=0$ 给最大值5，值域便是 $[1,5]$。改变输入集合，即使公式不变，也会改变值域。

更正式地，函数 $f:D\to C$ 把定义域 $D$ 中每个元素送到陪域 $C$ 中唯一的元素。值域是 $f(D)=\{f(x):x\in D\}$，它可能只是陪域的一部分。例如上述函数可取陪域 $ℝ$，但不会输出负数。这一区分在讨论双射和反函数时至关重要。

先检查限制，再找输出

对实函数 $g(x)=\sqrt{5-2x}/(x+1)$，平方根要求 $5-2x\ge 0$，分母要求 $x+1\ne 0$；两个条件要同时成立。因此定义域是 $(-\mathrm{\infty },-1)\cup (-1,5/2]$。不能先约去或变形，再把原来无定义的点补回去。

找值域通常比找定义域多一步：需证明某个输出确实能取到，也要排除其余输出。对 $h(x)=1/(x-1)$，输出不可能为零；反过来，对任意 $y\ne 0$，取 $x=1+1/y$ 就有 $h(x)=y$。故值域恰为 $ℝ\setminus \{0\}$。只观察图像上下延伸，不能代替这两个方向的论证。

参考资料

• OpenStax《Precalculus 2e》§1.2：定义域、值域与常见代数限制。
• 同书 §1.1：函数的输入、输出与记号。