分块矩阵

分块矩阵把大矩阵按相同的行、列边界切成较小矩阵，再在维度相容时像普通元素一样组织加法和乘法。分块是计算和表达方式，不改变原矩阵。

先核对块的尺寸

把 $A$ 写成 $\left(\begin{array}{cc}P& Q\\ R& S\end{array}\right)$，把 $B$ 写成 $\left(\begin{array}{cc}U& V\\ W& Z\end{array}\right)$。若对应的内部维度相合，则 $$AB=\left(\begin{array}{cc}PU+QW& PV+QZ\\ RU+SW& RV+SZ\end{array}\right).$$ 这不是新的乘法规则；每一块都由普通矩阵乘法的行列配对重新分组而来。若 $P$ 是 $2\times 2$、$Q$ 是 $2\times 1$，那么 $U$ 必须有2行、$W$ 必须有1行，才可相加 $PU+QW$。

取简单的上三角分块 $A=\left(\begin{array}{cc}I& T\\ 0& I\end{array}\right)$，其中 $I$ 与 $T$ 都是同阶方阵。按上式相乘可验 $$\left(\begin{array}{cc}I& T\\ 0& I\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}I& -T\\ 0& I\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}I& 0\\ 0& I\end{array}\right).$$ 故它的逆矩阵只需把右上块变号。这个结论对任意大小的方块 $T$ 成立，不需要逐个元素求逆。

分块何时有用

将数据向量拆成两组后，$Ax=b$ 可分成两条相互联系的向量方程；线性方程组与高斯消元中的消元可一次处理整块变量。矩阵的秩、逆矩阵和统计协方差矩阵也常按变量组分块。分块并不保证各块彼此交换：上式中 $PU+QW$ 的顺序来自原乘法，随意把 $QW$ 写成 $WQ$ 常会连维度都不合法。

参考资料

• MIT OpenCourseWare 18.06SC：Block Multiplication 相关课程资源：分块乘法与消元。
• MIT OpenCourseWare 18.06：Matrix Multiplication：块乘法所依据的普通矩阵乘法。