逆矩阵

逆矩阵撤销一个方阵所表示的线性变换。若 $AB=BA=I$，则 $B$ 是 $A$ 的逆矩阵，记作 $A^{-1}$；这样的 $A$ 称为可逆矩阵。

把一次变换倒过来

取 $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$。要从输出 $(u,v{)}^T$ 恢复输入 $(x,y{)}^T$，解 $2x+y=u$、$x+y=v$。两式相减得 $x=u-v$，再得 $y=2v-u$，因此 $$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right).$$ 直接相乘，两个方向都得到单位矩阵。若 $Ax=(5,3{)}^T$，恢复的输入是 $(5-3,-5+6{)}^T=(2,1{)}^T$；代回原方程得到 $(5,3{)}^T$。

何时不存在逆矩阵

方阵可逆，当且仅当 $Ax=0$ 只有零解；等价地，列向量线性无关、秩为满秩或行列式非零。若两列相同，例如 $C=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right)$，则 $C(1,-1{)}^T=0$。零输出既可来自零输入，也可来自 $(1,-1{)}^T$，信息丢失，因而不能逆转。

对 $2\times 2$ 矩阵 $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$，若 $ad-bc\ne 0$，直接展开可核对 $$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right).$$ 高阶矩阵常用线性方程组与高斯消元求解 $Ax=b$，而非显式算出逆矩阵。即使 $A^{-1}$ 存在，数值问题还须检查条件数：接近奇异的矩阵会放大输入误差。

参考资料

• MIT OpenCourseWare 18.06SC：Inverse Matrices 相关讲义：可逆条件与求解。
• MIT OpenCourseWare 18.06：Lecture 3、20：逆矩阵及其与行列式的关系。