分布的卷积

独立随机变量之和的概率分布称为它们的分布卷积。计算时固定和的取值，把所有能产生这个和的输入配对的概率汇总。

两个均匀变量的和

设 $X\sim \mathrm{Unif}(0,2)$、$Y\sim \mathrm{Unif}(0,1)$ 且二者独立。它们的密度分别为 $1/2$ 和 $1$。令 $Z=X+Y$，则 $$f_Z(z)={\int }_{ℝ}{f}_X(x)f_Y(z-x)\mathrm{d}x.$$ 被积函数在 $0<x<2$ 且 $0<z-x<1$ 时等于 $1/2$，其余位置为零。前述条件等价于 $$x\in (0,2)\cap (z-1,z).$$ 交集长度随 $z$ 先增加、保持不变、再减小，于是 $$f_Z(z)=\{\begin{array}{cc}z/2,& 0<z<1,\\ 1/2,& 1\le z\le 2,\\ (3-z)/2,& 2<z<3,\\ 0,& \text{其他位置}.\end{array}$$ 两端三角形的面积各为 $1/4$，中间矩形的面积为 $1/2$，总面积是一。例如 $P(1\le Z\le 2)=1/2$，$P(Z\le 1)=1/4$。

面积分别为四分之一、二分之一和四分之一。

分布层面的定义

记 $\mu$、$\nu$ 为实线上两个概率测度。它们的卷积对任意博雷尔集 $A$ 定义为 $$(\mu \ast \nu )(A)={\int }_{ℝ}\mu (A-y)\nu (\mathrm{d}y),$$ 其中 $A-y=\{x:x+y\in A\}$。若 $X$ 与 $Y$ 独立且分别服从这两个分布，联合分布是 $\mu \otimes \nu$，所以 $$\begin{array}{cc}P(X+Y\in A)& =\int \int {\mathrm{𝟏}}_A(x+y)\mu (\mathrm{d}x)\nu (\mathrm{d}y)\\ & =\int \mu (A-y)\nu (\mathrm{d}y).\end{array}$$ 这说明定义确实给出独立和的分布，也适用于离散、连续和混合分布。

若两个分布具有密度，使用变量 $z=x+y$ 并对 $x$ 积分，得到上节的密度公式。对于整数值随机变量，则有 $$P(X+Y=k)=\sum _{j}P(X=j)P(Y=k-j).$$ 例如两个独立公平硬币的正面数相加，零、一、二的概率依次为 $1/4,1/2,1/4$。

独立性与矩

上面的密度乘积来自独立性。若仍令 $X\sim \mathrm{Unif}(0,2)$，却取 $Y=X/2$，则 $Y\sim \mathrm{Unif}(0,1)$，但 $Z=3X/2$ 均匀分布在 $(0,3)$ 上。此时 $P(1\le Z\le 2)=1/3$，与独立例的 $1/2$ 不同。

在独立例中，$E[Z]=1+1/2=3/2$，方差为 $1/3+1/12=5/12$。均值相加只需要相关期望存在；方差相加还使用了独立性或零协方差条件。