包裹正态分布

包裹正态分布（wrapped normal distribution）是把实数轴上的正态随机变量按整圈取模后得到的角度分布。“包裹”保留方向，舍去转过的整圈数。因此它与截断正态不同：落在代表区间外的概率没有被删除，而是绕回圆周上累加。

从实数到方向

令 $Y\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，$\sigma >0$，并令 $\Theta$ 为 $Y$ 在 $[-\pi ,\pi )$ 中的模 $2\pi$ 代表值。所有角度以弧度计。给定一个小角度区间，其原像是相隔整圈的无数个实数区间，因此密度为 $$f(\theta )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\sum _{k\in \mathbb{Z}}\exp [-\frac{(\theta -\mu +2\pi k{)}^2}{2{\sigma }^2}].$$ 把该式在一整圈上积分，各项对应的实数区间恰好覆盖实数轴，故总积分为一。平移 $\theta$ 一整圈只会重新编号 $k$，故密度具有 $2\pi$ 周期。

展开正态越分散，转过多圈后叠加的密度越接近均匀。左右端点在圆周上相邻。

图中的 $\sigma$ 是展开变量 $Y$ 的标准差。代表区间中的 $\Theta$ 有有限普通方差，但该方差依赖切开圆周的位置，不能直接解释成圆周离散程度。

三角矩的简洁表达

对任意整数 $m$，有 $e^{im\Theta }=e^{imY}$，因为相差整圈不会改变这个复指数。利用正态变量的特征函数，得到 $$𝔼[e^{im\Theta }]=e^{im\mu -m^2{\sigma }^2/2}.$$ 特别地，平均方向为 $\mu$，平均合向量长度为 $R=e^{-{\sigma }^2/2}$。所以 ${\sigma }^2=-2\log R$，这是一种从方向集中度恢复展开尺度的关系，不是对普通角度样本直接计算方差。

各整数阶三角矩还给出傅里叶表示： $$f(\theta )=\frac{1}{2\pi }[1+2\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-m^2{\sigma }^2/2}\cos (m(\theta -\mu ))].$$ 固定 $\sigma >0$ 时系数绝对可和，故可用连续周期函数的傅里叶展开。小 $\sigma$ 时原像和式常更快；大 $\sigma$ 时傅里叶系数衰减快。有限截断的误差需要控制，不能因为绘图没有负值就判为密度计算正确。

跨越一百八十度的集中分布

取 $\mu =\pi ,\sigma =1/2$。密度的峰落在代表区间左右两端，看起来像“两座峰”，但圆周上其实只有同一个方向峰。合向量长度为 $e^{-1/8}\approx 0.8825$，平均方向为一百八十度，而不是零度。

求与平均方向的圆周距离不超过半弧度的概率。将 $Y-\mu$ 记为 $Z\sim N(0,1/4)$，事件可写成 $\bigcup _k\{2\pi k-1/2\le Z\le 2\pi k+1/2\}$。所以 $$Pr(d_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}(\Theta ,\mu )\le 1/2)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}[\Phi (4\pi k+1)-\Phi (4\pi k-1)].$$ $k=0$ 项为 $\Phi (1)-\Phi (-1)\approx 0.6827$，其他项极小。这里可以给出准确的累加公式，再说明近似来自忽略远处正态尾部，而不是把圆周区间硬截成一段实数区间。

变式。 若展开方差从 $1/4$ 变为一，则 $R$ 从约 $0.8825$ 降至 $e^{-1/2}\approx 0.6065$；平均方向不变。$\sigma \to \mathrm{\infty }$ 时，各非零阶傅里叶系数趋零，密度趋于 $1/(2\pi )$。$\sigma \to 0$ 时则趋向集中在一个方向的点质量，不再是普通连续密度。

与其他圆周模型的区别

冯米塞斯分布把角度差的余弦放入指数；包裹正态来自一个明确的展开正态机制。两者在高度集中时可以很相近，却不是所有参数下相同的分布。若观测包含真实圈数，例如转轴累计转角，取模会丢掉有用信息；此时应保留展开变量或同时建立圈数模型。