半圆所对的圆周角

一条直径 $AB$ 的两个端点与同圆另一点 $C$ 相连，必有 $\mathrm{\angle }ACB=90^{\circ }$。若 $AB$ 只是普通弦，$C$ 位于它的大弧段时所见角小于直角，位于小弧段时所见角大于直角。这是《几何原本》第三卷命题 31 中关于圆周角的部分。

半圆与大小弧的半角关系

直径对应的任一半圆弧量为 $180^{\circ }$；由圆周角定理，它的圆周角等于一半，即 $90^{\circ }$。若普通弦的小弧量为 $\theta <180^{\circ }$，大弧上的顶点 $C$ 看见小弧，故 $\mathrm{\angle }ACB=\theta /2<90^{\circ }$。把 $C$ 移到小弧，所见的是大弧，角变为 $$\frac{360^{\circ }-\theta }{2}=180^{\circ }-\frac{\theta }{2}>90^{\circ }.$$ 例如小弧量为 $120^{\circ }$，大弧段内的角为 $60^{\circ }$，小弧段内的角为 $120^{\circ }$。图中虚线直径还展示直角特例。

直径所对的圆周角为直角；普通弦的大小弧段需另按所对弧计算。

原典还比较圆弧和弦围出的曲线角与直角大小。现代初等几何通常把角定义在两条直线射线之间，不把这种曲线角作为普通的度数角；因此使用本命题解题时，应以圆周角和它所对的弧为准。关于切线附近的曲线接触，见切线与半径垂直。

参考资料

• 《几何原本》III.31：半圆中角为直角及大小弧段的角。
• 继续阅读：过圆外一点作切线、圆内接四边形的对角。
• 推导关联：《几何原本》III.20：同弧圆心角与圆周角。