可交换随机序列

可交换随机序列的联合分布不因重新排列有限个位置而改变。这个性质表达顺序上的对称性，但不要求各项相互独立。例如，连续从同一个有限盒子取出物品时，调换记录顺序不改变某些结果的概率，但前一次抽取会影响下一次。

定义与有限抽样

实随机序列 $(X_i{)}_{i\ge 1}$ 可交换，是指对每个 $n$ 和 $\{1,\dots ,n\}$ 的每个排列 $\pi$， $$(X_1,\dots ,X_n)\stackrel{d}{=}(X_{\pi (1)},\dots ,X_{\pi (n)}).$$ 这里只交换有限多个坐标。有限序列也可使用同样定义，但有限可交换序列未必能够扩展成无限可交换序列。

考虑一个含两个红球、一个蓝球的盒子，不放回地抽三次，红记为一。所有三个位置的排列等可能，结果 $(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)$ 各有概率 $1/3$，因此该长度为三的序列可交换。可是 $$Pr(X_1=1)=\frac{2}{3},$$ $$Pr(X_1=1,X_2=1)=\frac{1}{3}\ne \frac{4}{9}.$$ 所以 $X_1,X_2$ 并不独立。这里恰有两个一的约束还会阻止把这个有限模型无修改地扩展成无限可交换序列。

隐藏参数产生的依赖

先以相等概率取一个随机参数 $\Theta \in \{1/4,3/4\}$。给定 $\Theta =p$ 后，令各 $X_i$ 独立服从伯努利分布 $\mathrm{Bernoulli}(p)$。对于含 $s$ 个一的长度 $n$ 字符串，其概率为 $$\frac{1}{2}(1/4{)}^s(3/4{)}^{n-s}+\frac{1}{2}(3/4{)}^s(1/4{)}^{n-s}.$$ 它只依赖一的数量，而不依赖位置，所以所得无限序列可交换。边缘上 $Pr(X_i=1)=1/2$，但两项同时为一的概率为 $(1/16+9/16)/2=5/16$，比独立时的 $1/4$ 大。观察到一个一会提高参数较大情形的相对可能性，因此各项虽在给定参数后独立，未给定参数时仍相关。

无限序列的约束

有限不放回例的协方差为 $1/3-4/9=-1/9$。但对同分布且二阶矩有限的无限可交换序列，令公共方差为 $v$、不同坐标的公共协方差为 $c$，则 $$0\le \mathrm{Var}\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\frac{v}{n}+\frac{n-1}{n}c.$$ 令 $n\to \mathrm{\infty }$ 可知 $c\ge 0$。这解释了上述负相关的有限模型不能扩展为二阶矩有限的无限可交换序列。

对无限伯努利序列，德菲内蒂定理进一步表明，可交换性等价于某个随机成功概率下的条件独立混合；上述两点混合是其具体例子。这个表示是更深的定理，不能仅由有限排列对称性直接推得；有限序列也不可直接套用。