龙伯格观测器

龙伯格观测器（Luenberger observer）是一种利用已知输入和测量输出来动态估计线性系统状态的方法。它一面按模型预测状态，一面用“实际输出减去预测输出”的误差修正预测。正确模型下，适当选择修正增益可以让初始估计误差随时间衰减。

模型预测与输出修正

设真实系统为 $\dot{x}=Ax+Bu,y=Cx$，状态 $x\in {ℝ}^n$、输出 $y\in {ℝ}^p$。全阶观测器另维护一个 $n$ 维变量 $\hat{x}$： $$\dot{\hat{x}}=A\hat{x}+Bu+L(y-C\hat{x}),L\in {ℝ}^{n\times p}.$$ 括号内是输出残差，维数为 $p$；增益 $L$ 把它转换成每个状态分量的修正。取估计误差 $e=x-\hat{x}$，两式相减得 $$\dot{e}=A(x-\hat{x})-LC(x-\hat{x})=(A-LC)e.$$ 已知输入完全消去，所以在无噪声正确模型中，误差动态不依赖所施加的具体输入。若 $A-LC$ 的特征值实部均负，则 $e(t)=e^{(A-LC)t}e(0)$ 趋于零。

只测位置时估计速度

对 $\dot{q}=v,\dot{v}=u,y=q$，取 $L=(l_1,l_2{)}^{𝖳}$，则 $$A-LC=\left(\begin{array}{cc}-l_1& 1\\ -l_2& 0\end{array}\right),det(sI-A+LC)=s^2+l_{1}s+l_2.$$ 要求误差极点为 $-2,-3$，逐项比较 $s^2+5s+6$，得到 $L=(5,6{)}^{𝖳}$。因此观测器为 $$\dot{\hat{q}}=\hat{v}+5(q-\hat{q}),\dot{\hat{v}}=u+6(q-\hat{q}).$$ 位置残差不仅修正位置，还修正速度。设初始误差 $e_q(0)=1,e_v(0)=0$。由 ${\dot{e}}_v=-6e_q$、${\dot{e}}_q=-5e_q+e_v$ 得 $$e_q(t)=-2e^{-2t}+3e^{-3t},e_v(t)=-6e^{-2t}+6e^{-3t}.$$ 检查 ${e_q}^{\prime }(0)=-5$、${e_v}^{\prime }(0)=-6$ 与误差方程一致。速度误差会暂时增大后消失；极点稳定不意味着每个误差分量都逐点单调下降。

初始速度估计恰好正确，也可能在修正位置误差时暂时偏离。两条误差最终都衰减到零。

可检测性与估计反馈

任意配置观测器极点的条件是可观测性。若只要求存在某个稳定误差矩阵，较弱的可检测性已经足够：所有不可观测模态必须本来就稳定。一个既不可观测又增长的状态方向不会留下输出线索，观测器没有信息可用来纠正它。

将估计用于 $u=-K\hat{x}$ 时，真实状态满足 $\dot{x}=(A-BK)x+BKe$。把状态与误差堆叠，闭环矩阵为 $$\left(\begin{array}{cc}A-BK& BK\\ 0& A-LC\end{array}\right).$$ 块上三角行列式表明，闭环特征值是控制器极点和观测器极点的并。因此在上述线性、无饱和、正确模型条件下，两部分可分别设计；这就是确定性分离原理的核心。

若测量含噪声 $y=Cx+n$，误差方程多出 $-Ln$。把观测器极点推得很快通常需要更大增益，也可能更强地放大噪声；模型误差和采样延迟同样需要另行分析。

变式。 若目标误差极点改为 $-1,-4$，则 $L=(5,4{)}^{𝖳}$。两种设计的 $l_1$ 相同，但 $l_2$ 不同，说明只盯住某个增益数值无法判断整组误差模态。