可达集

可达集（reachable set）是系统从给定初始条件出发，在允许控制作用下能够到达的所有状态组成的集合。它依赖时间、初始集合、输入限制以及动力学。固定时刻可达、某时刻之前可达和始终保持安全是三种不同问题，写出集合前应说明采用哪一种。

一维运动中的固定时刻可达

考虑 $\dot{x}=u$、$|u(t)|\le 1$、$x(0)=0$，输入允许可测且有界。固定 $T\ge 0$ 时， $$x(T)={\int }_0^{T}u(t)\mathrm{d}t,|x(T)|\le T.$$ 反过来，对任意 $z\in [-T,T]$，若 $T>0$，选常值 $u=z/T$ 即可到达；$T=0$ 时只有原点。所以精确可达集为 $ℛ(T)=[-T,T]$。若初始集合为 $[2,3]$，则可达集为 $[2-T,3+T]$，由初态和控制位移相加得到。

二维速度限制的几何区别

令 $\dot{x}=u$、$x\in {ℝ}^2$、$x(0)=0$。若两个分量分别受限 $|u_1|,|u_2|\le 1$，则 $ℛ(T)=[-T,T{]}^2$；取常值 $u=x_f/T$ 证明其中每点都可达。若限制改成总速度 $\Vert u{\Vert }_2\le 1$，由积分三角不等式得到 $\Vert x(T){\Vert }_2\le T$，同样用常值输入证明可达集为半径 $T$ 的闭圆盘。

同一个动力学，输入集合不同，可达集也不同。方形顶点(1,1)在逐坐标限幅下可于一秒到达，在总速度不超过一时则不可以。

例如 $T=1$、目标 $(1,1)$ 在第一种约束下可用 $u=(1,1)$ 到达；但它的欧氏距离为 $\sqrt{2}$，第二种约束至少需要 $\sqrt{2}$ 时间。这个时间下界来自路径长度，而不是绘图测量。

线性系统的集合表达

对 $\dot{x}=Ax+Bu$，初始集合 $X_0$、允许输入函数集合 $𝒰$ 给出 $$ℛ(T)=\{e^{AT}{x}_0+{\int }_0^T{e}^{A(T-t)}Bu(t)\mathrm{d}t:x_0\in X_0,u\in 𝒰\}.$$ 若 $X_0$ 凸，且允许输入集合对逐点凸组合封闭，则可达集也凸：两条可行轨迹的凸组合由初态和输入的同一凸组合产生。这是线性与凸性共同作用的结果，非线性系统不自动继承此性质。

不限制输入幅值且初态固定时，可达改变量形成可控子空间；有限输入能量的约束可产生由可控格拉姆矩阵描述的椭球。有限幅值约束通常得到不同集合，不能把能量椭球直接当成所有限幅输入的精确可达集。

时间并集与路径安全

在某时刻之前能到达的集合为 ${ℛ}_{\le T}=\bigcup _{0\le t\le T}ℛ(t)$。对一维积分器，允许 $u=0$ 等待使这些区间嵌套，两者在终点时长相同；对一般漂移系统未必如此。

终点在安全集合中，也不保证途中不越界。若要求所有 $t\in [0,T]$ 都在安全集合，必须将这一条件加入允许轨迹定义。变式。 一维模型若再要求 $u\in [0,1]$，则固定时刻可达集从 $[-T,T]$ 变成 $[0,T]$；负方向已经无法运动。