同胚

在拓扑空间中，同胚（homeomorphism）是一种保留两边拓扑结构的双向连续对应。严格地说，两个拓扑空间 $X,Y$ 同胚，是指存在双射 $f:X\to Y$，使 $f$ 与逆映射 $f^{-1}:Y\to X$ 都连续。这样的 $f$ 称为同胚映射。双射保证点一一对应；双向连续保证两边的开集结构相容，不能只检查一个方向。这里的“连续”描述映射及其逆本身，并不是要求另外给出一段随时间变化的形变过程。

区间拉伸到整条直线

开区间 $(0,1)$ 看起来有界，实数直线 $ℝ$ 无界，但两者同胚。一个具体映射是 $$f(x)=\tan (\pi (x-\frac{1}{2})),0<x<1.$$ 当 $x$ 从 0 向 1 增加时，括号里的角从 $-\pi /2$ 增至 $\pi /2$；正切函数在这个开区间严格递增、连续，取遍全部实数。逆映射为 $f^{-1}(y)=\frac{1}{2}+\arctan (y)/\pi$，它也连续，所以这不只是集合论上的双射，而是同胚。此例说明“有界”并非同胚不变量：这个连续且可逆的对应，把越来越靠近区间端点的数映到绝对值越来越大的实数。

不同胚的判定

闭区间 $[0,1]$ 与开区间 $(0,1)$ 不同胚。紧致在连续映射下保留，而 $[0,1]$ 紧致、$(0,1)$ 不紧致：后者的开覆盖 $\{(1/n,1):n\ge 2\}$ 没有有限子覆盖。若存在从闭区间到开区间的同胚，连续像应是紧致的，立即矛盾。这个论证用的是一种拓扑不变量，比观察端点外形更可靠。

圆周 $S^1$ 也不与闭区间 $[0,1]$ 同胚。若把闭区间内部一点 $1/2$ 删去，余下分成左右两块；但从圆周删去任意一点，剩下仍是一段连通的弧。同胚若存在，会把“删去一个点后的连通性”对应过去，这与上述差别矛盾。这里并不是说圆周和线段没有相同个数的点；它们都可与实数的某些区间建立双射，差异在邻近关系。

在拓扑语言里，连续映射 $f:X\to Y$ 的判据是：$Y$ 中每个开集的原像在 $X$ 中都开。同胚多要求逆映射也连续，于是 $X$ 的开集恰好一一对应 $Y$ 的开集。由此任何只依赖开集表达的性质，例如连通与紧致，都会在同胚下保留。复合两个同胚仍是同胚，因为复合映射和复合逆映射都连续；所以“同胚”确实把拓扑空间分成一种等价关系。这个推理比“橡皮泥可拉伸”更准确：橡皮泥比喻有助于想象，但不能判定复杂空间是否同胚。

连续逆映射不能省略

设 $X=[0,2\pi )$，$Y=S^1$ 为单位圆，映射 $f(t)=(\cos t,\sin t)$ 连续且双射；然而它的逆映射在圆上的点 $(1,0)$ 不连续。圆周上从下方接近 $(1,0)$ 的点，对应参数趋向 $2\pi$，而该点自身对应参数是 0。故一个方向连续的双射不自动是同胚。若定义域紧致、值域为 Hausdorff 空间，则有可用的特别定理保证连续双射的逆连续；这里的 $[0,2\pi )$ 不紧致，不能套用。

作为重建练习，试判断正半轴 $(0,\mathrm{\infty })$ 与实数直线是否同胚。映射 $g(t)=e^t$ 从 $ℝ$ 到 $(0,\mathrm{\infty })$ 连续、严格递增且取遍正实数；逆映射 $\ln x$ 在正半轴连续，所以答案是肯定的。现在把正半轴换成 $[0,\mathrm{\infty })$，就不能继续用 $\ln$ 覆盖端点 0；更根本的是，删去 $[0,\mathrm{\infty })$ 的端点 0 后仍连通，而在 $ℝ$ 中删去任意一点都不连通，故两者不同胚。写出映射后逐项检查定义域、满射性及逆的连续性，才能真正完成判断。

参考资料

• University of Chicago，Topology I，§4 Definition 4.2 与 Proposition 4.3。
• J. P. May，Finite Topological Spaces，§1.5 Definition 1.5.11。