向量的内积

两个空间向量之间的内积（dot product）是一个数。它同时可以用坐标计算，也可以用长度和夹角解释；因此它把代数运算与“垂直”“投影”接在一起。本篇只讨论实数坐标中的欧氏内积。

坐标计算与几何意义

设 $u=(u_1,u_2,u_3)$、$v=(v_1,v_2,v_3)$，定义 $$u\cdot v=u_1{v}_1+u_2{v}_2+u_3{v}_3,|u|=\sqrt{u\cdot u}.$$ 例如 $u=(2,1,2)$、$v=(1,2,-2)$，有 $u\cdot v=2+2-4=0$，且 $|u|=|v|=3$。两向量虽然每个坐标都不为零，却相互垂直。

对非零向量，夹角 $\theta \in [0,\pi ]$ 满足 $$u\cdot v=|u||v|\cos \theta .$$ 这个关系可以从余弦定理推出。由坐标展开，$|u-v{|}^2=|u{|}^2+|v{|}^2-2u\cdot v$；把 $u,v$ 放在同一起点，它们与 $u-v$ 构成三角形，余弦定理又给出 $|u-v{|}^2=|u{|}^2+|v{|}^2-2|u||v|\cos \theta$。两式相减便得到上式。于是内积为正、零、负分别对应锐角、直角、钝角；零向量没有确定方向，不能谈它与其他向量的夹角。

再取 $a=(1,1,0)$、$b=(1,0,1)$。它们的内积是 1，长度均为 $\sqrt{2}$，故 $\cos \theta =1/(\sqrt{2}\sqrt{2})=1/2$，夹角为 $60^{\circ }$。若把 $b$ 换成 $-b$，内积变为 -1，夹角随之变为 $120^{\circ }$；长度不变，变的是方向。

投影是一段有符号的长度

沿非零向量 $v$ 的标量投影是 $(u\cdot v)/|v|$；再乘单位方向 $v/|v|$，得到向量投影 $${\mathrm{proj}}_{v}u=\frac{u\cdot v}{v\cdot v}v.$$ 图中从 $u$ 的终点向 $v$ 所在直线作垂线，垂足对应的箭头就是投影。若夹角为钝角，垂足会落在 $v$ 的反方向，公式中的系数也随之为负。

投影沿着 v；余下的差向量与 v 垂直。

以 $u=(3,2,1)$、$v=(1,1,0)$ 为例，$u\cdot v=5$、$v\cdot v=2$，所以投影是 $(\frac{5}{2},\frac{5}{2},0)$。余向量 $u-{\mathrm{proj}}_{v}u=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1)$ 与 $v$ 的内积为 $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$。这不仅是画图的观察：一般地，若 $p=(u\cdot v)/(v\cdot v)v$，则 $(u-p)\cdot v=u\cdot v-(u\cdot v)=0$，证明了垂直性。

内积能够量出多少

从坐标式直接展开，有 $(u+w)\cdot v=u\cdot v+w\cdot v$、$(tu)\cdot v=t(u\cdot v)$。因此沿固定方向的投影会把各段位移的贡献相加。物理中的恒力 $F$ 作用于位移 $s$ 时，功 $W=F\cdot s$：垂直于位移的力不做功，反向的力做负功。这一式要求力和位移处在同一欧氏坐标系，单位分别为牛顿和米，功的单位才是焦耳。

内积还满足 $|u\cdot v|\le |u||v|$，即柯西不等式。在这里也可以由 $|\cos \theta |\le 1$ 立即看出；该词条给出不依赖预先定义角度的代数证明。若希望从向量上得到另一种向量并测量面积，则读向量的外积。

作为一次复算，设 $p=(1,2,2)$、$q=(2,0,1)$。沿 $q$ 的投影系数是 $(p\cdot q)/(q\cdot q)=4/5$，投影向量为 $(8/5,0,4/5)$；余向量 $(-3/5,2,6/5)$ 与 $q$ 的内积 $-6/5+6/5=0$。这里分母是 $|q{|}^2=5$，不能误写成 $|q|$；前者算向量投影，后者只用于标量投影。

参考资料

• OpenStax，Calculus Volume 3，§2.3 The Dot Product：内积、角度与投影。
• MIT OpenCourseWare，18.06SC，Orthogonality 单元：正交与投影。
• 继续阅读：正交投影、柯西不等式。