向量的外积

外积（cross product）把三维空间中的两个向量变成一个同时垂直于它们的向量。这个运算依赖空间的定向：本文固定右手直角坐标系。它的长度是两向量张成的平行四边形面积，方向用右手规则确定。

从面积和方向定出结果

把 $u$ 与 $v$ 放在共同起点，夹角记为 $θ$ 。平行四边形以 $| u |$ 为底，另一条边的高为 $| v | \sin θ$ ，故面积为 $| u | | v | \sin θ$ 。定义 $u \times v$ 的长度为这个面积；它垂直于二者所在平面，朝向按右手从 $u$ 转向 $v$ 决定。若两向量共线或有零向量，面积为零，外积就是零向量。

两个向量张成平行四边形，标出底边、高和垂直于平面的外积方向 — 面积是底乘高，外积的箭头垂直于图中的平行四边形。

与内积不同，交换两个向量会反向： $v \times u = - (u \times v)$ 。在右手标准基 $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ 中， $e_{1} \times e_{2} = e_{3}$ ，反过来 $e_{2} \times e_{1} = - e_{3}$ 。

坐标公式的来处

利用外积对每个输入的分配律，把 $u = u_{1} e_{1} + u_{2} e_{2} + u_{3} e_{3}$ 与 $v = v_{1} e_{1} + v_{2} e_{2} + v_{3} e_{3}$ 逐项展开。相同基向量的外积为零，且 $e_{2} \times e_{3} = e_{1}$ 、 $e_{3} \times e_{1} = e_{2}$ ；反向的项取负，整理得到 $u \times v = (u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}, u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}, u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}) .$ 也可把三项记成沿第一行形式展开的符号行列式 $| \begin{matrix} e_{1} & e_{2} & e_{3} \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{matrix} |$ ；第一行是向量，不应把它误作普通数值行列式。

取 $u = (1, 0, 1)$ 、 $v = (0, 2, 1)$ 。代入三个坐标得到 $u \times v = (- 2, - 1, 2)$ 。核对垂直性： $(u \times v) \cdot u = - 2 + 2 = 0$ ， $(u \times v) \cdot v = - 2 + 2 = 0$ 。长度 $\sqrt{4 + 1 + 4} = 3$ ，所以平行四边形面积为 3，同底同高的三角形面积为 $3 / 2$ 。由此也能发现计算时若把第二坐标的减法顺序写反，垂直核对通常会失败。

把这两个向量看作三角形两条边： $A = (1, 1, 0)$ 、 $B = (2, 1, 1)$ 、 $C = (1, 3, 1)$ 给出 $\vec{A B} = u$ 、 $\vec{A C} = v$ ，故三角形 $A B C$ 面积为 $3 / 2$ 。法向量可取 $n = (- 2, - 1, 2)$ 。平面上任一点 $X = (x, y, z)$ 与 $A$ 的差必须垂直于 $n$ ，于是 $n \cdot (X - A) = 0$ ，展开为 $- 2 x - y + 2 z + 3 = 0$ 。把 $A, B, C$ 各自代入，左端均为零，检验了方程与三点一致。

从外积回到面积公式

若只想用坐标核实长度等于面积，可把公式平方并整理： $| u \times v |^{2} = (u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2})^{2} + (u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3})^{2} + (u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1})^{2} = | u |^{2} | v |^{2} - (u \cdot v)^{2} .$ 由向量的内积的夹角式 $u \cdot v = | u | | v | \cos θ$ ，右边变成 $| u |^{2} | v |^{2} (1 - \cos^{2} θ)$ ，开平方便得到面积式。平方关系也表明 $u \times v = 0$ 当且仅当 $u, v$ 线性相关（其中包括零向量）。

若第三个向量再离开这个平面，底面积乘高度就给出空间体积；对应的数是混合积。本文的右手规则与三坐标公式针对定向三维欧氏空间；更一般空间的面积概念需要另作定义。

参考资料

OpenStax，Calculus Volume 3，§2.4 The Cross Product：定向、面积与体积。
MIT OpenCourseWare，18.02SC，Session 7 Cross Products：外积的几何解释与计算。
继续阅读：向量的内积、向量混合积与体积、行列式。