哈密顿向量场

哈密顿向量场（Hamiltonian vector field）由一个哈密顿函数和辛结构共同确定，用来给出相空间中的运动方向。在标准位置—动量坐标 $(q,p)$ 中，它产生哈密顿方程 $$\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p},\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}.$$ 自治系统沿轨迹保持哈密顿函数的值；在力学模型中，适当的 $H$ 常表示总能量。相空间中的方向场让能量等值线与实际运动连接起来。

从弹簧振子得到相轨迹

取质量为一、弹性系数为四的无阻尼一维振子。位置为 $q$，动量为 $p=\dot{q}$，哈密顿函数为 $$H(q,p)=\frac{p^2}{2}+2q^2.$$ 因此 $\dot{q}=p$、$\dot{p}=-4q$。初值 $q(0)=1,p(0)=0$ 的解为 $$q(t)=\cos 2t,p(t)=-2\sin 2t.$$ 将其代回，得到 $H=2$。相轨迹满足 $$q^2+\frac{p^2}{4}=1.$$ 在点 $(1,0)$，向量场为 $(0,-4)$，所以运动沿相平面中的椭圆顺时针进行。椭圆上的点描述同一个系统在不同状态下的位置与动量，不是物体在二维物理空间中的路径。

初始能量为二，动量最大绝对值为二。相轨迹同时满足微分方程与能量恒等式。

若初值改为 $q(0)=0,p(0)=1$，则 $$q(t)=\frac{1}{2}\sin 2t,p(t)=\cos 2t,$$ 能量变成 $1/2$，轨迹为较小的椭圆。这一变式改变振幅与能量，线性振子的周期仍为 $\pi$。

辛形式与符号约定

在 ${ℝ}^{2n}$ 中，取标准辛形式 $$\omega =\sum _{j=1}^n\mathrm{d}{q}_j\wedge \mathrm{d}{p}_j.$$ 对光滑函数 $H$，本文用 $$\omega (X_H,Y)=\mathrm{d}H(Y)\text{对所有切向量 }Y$$ 定义 $X_H$。辛形式的非退化性保证这个向量唯一。若写 $X_H=(a,b)$、$Y=(u,v)$，则 $$\begin{array}{cc}\omega (X_H,Y)& =a\cdot v-b\cdot u,\\ \mathrm{d}H(Y)& =H_q\cdot u+H_p\cdot v.\end{array}$$ 比较任意 $u,v$ 的系数，得到 $a=H_p$、$b=-H_q$，即开头的哈密顿方程。不同教材若把辛形式或定义式取相反符号，应同时调整对应约定。

在一般辛流形上，给定闭的非退化二形式 $\omega$ 后，同一定义仍成立。这使坐标中的方程具有内在的几何意义；本文后续计算均在标准正则坐标中进行。

自治能量守恒

若 $H=H(q,p)$ 不显含时间，沿解求导： $$\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}& =H_q\cdot \dot{q}+H_p\cdot \dot{p}\\ & =H_q\cdot H_p-H_p\cdot H_q=0.\end{array}$$ 等价地，$\mathrm{d}H(X_H)=\omega (X_H,X_H)=0$，因为辛形式是反对称的。向量场因此切于能量等值面。

若 $H$ 显含时间，则总导数还包含 $\partial H/\partial t$。例如 $H(q,p,t)=tp$ 给出 $\dot{q}=t,\dot{p}=0$，所以 $H(t)=tp(0)$ 一般随时间改变。自治性正是前述能量守恒计算使用的条件。

正则坐标中的体积保持

设 $H\in C^2$。向量场的散度为 $$\mathrm{div}{X}_H=\sum _{j=1}^n(H_{p_j{q}_j}-H_{q_j{p}_j})=0.$$ 混合偏导相等使每项抵消。若局部流 ${\Phi }_t$ 存在，变分方程与行列式求导给出 $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}detD{\Phi }_t=(\mathrm{div}{X}_H)\circ {\Phi }_{t}detD{\Phi }_t=0.$$ 初始流为恒等，故 $detD{\Phi }_t=1$：相空间中的标准体积保持。这是刘维尔体积定理的正则坐标形式。它与能量守恒描述不同性质；具有显式时间依赖的哈密顿场，在每个时刻仍有相同的零散度计算。

零散度单独还不足以在高维判定某场为哈密顿场。例如在四维坐标 $(q_1,q_2,p_1,p_2)$ 中，向量场 $(q_1,-q_2,0,0)$ 的散度为零。若它来自某个 $H$，前两分量迫使 $$H=q_1{p}_1-q_2{p}_2+h(q_1,q_2).$$ 其动量方向分量却会包含 $-p_1-h_{q_1}$，无法对所有 $p_1$ 恒为零，产生矛盾。哈密顿结构比体积保持包含更多条件。

单摆的振荡与旋转

在质量、重力加速度、摆长均取一的无量纲单摆模型中， $$H(q,p)=\frac{p^2}{2}+1-\cos q.$$ 方程为 $\dot{q}=p$、$\dot{p}=-\sin q$。固定能量 $E$ 后， $$p=\pm \sqrt{2(E-1+\cos q)}.$$ 当 $0<E<2$ 时，动量在转向点为零，角度在有限范围内往返。例如 $E=1$ 时，转向角为 $\pm \pi /2$。沿能量二的轨迹趋近倒立平衡点时，速度趋于零，形成分界轨道；能量大于二时，动量不再变号，运动对应持续旋转。

图把角度展开在负圆周率至圆周率之间。真实角变量按二倍圆周率周期识别，旋转轨道应在圆柱相空间中理解。

阻尼项会改变结构。例如加上 $-\eta p$、$\eta >0$ 后，能量变化成为 $\dot{H}=-\eta p^2$，原来沿等值线运行的相轨迹会向低能量区域移动。标准无阻尼哈密顿模型的能量守恒与体积保持，不能直接用在这个耗散系统上。