因子分解定理

因子分解定理（factorization theorem，也称奈曼—费舍尔因子分解定理）通过联合密度的结构判断一个统计量是否充分。它要求所有参数使用共同的支配测度，并把与参数有关的样本信息集中到一个摘要中；不依赖参数的因子仍可依赖完整数据。

设独立读数 $X_1,X_2,X_3\sim U(0,\theta )$，未知上界 $\theta >0$。观察到 $(1,3,4)$ 后，任何小于四的上界都不可能产生这些数据。这个支持范围是似然的一部分，不能在代数化简时丢掉。

联合密度的两个因子

对样本 $x$，记 $M(x)=\underset{i}{max}{x}_i$，联合密度可以写为 $$\begin{array}{cc}{p}_{\theta }(x)& =g_{\theta }(M(x))h(x),\\ g_{\theta }(m)& ={\theta }^{-n}{1}_{\{m\le \theta \}},\\ h(x)& =1_{\{\underset{i}{min}{x}_i\ge 0\}}.\end{array}$$ 不等式 $M\le \theta$ 约束未知上界，保留在 $g_{\theta }$ 中；样本非负性不依赖参数，可以放进 $h$。这给出最大值充分的因子分解。

对主例 $n=3,M=4$，似然为零直到四，在 $\theta \ge 4$ 时正比于 ${\theta }^{-3}$。因此最大似然估计为四；上界八相对于上界四的似然比是 $(4/8{)}^3=1/8$。

左侧的零似然来自支持条件，右侧的下降来自密度中的尺度因子；两部分都参与参数推断。纵轴按最大值归一化。

定理的形式与适用范围

设模型 $\{P_{\theta }\}$ 在同一测度 $\nu$ 下有密度 $p_{\theta }$，$T=T(X)$ 是统计量。在通常的有限、可数或欧氏支配模型中，$T$ 充分，当且仅当存在非负可测函数 $h$ 与 $g_{\theta }$，使 $$p_{\theta }(x)=g_{\theta }(T(x))h(x)\nu \text{-几乎处处}.$$ 因子 $h$ 不得依赖未知参数，$g_{\theta }$ 不得再通过摘要以外的样本细节变化。连续密度在零测集上的任意改写不改变概率分布，因此定理以几乎处处的等式表述。

以下给出可数样本空间上的完整证明。连续情形涉及条件概率核与支配测度，使用上述一般定理；不以零概率单点的相除来替代它。

可数样本空间上的双向证明

先假设已经存在分解。对满足 $P_{\theta }(T=t)>0$ 的取值， $$\begin{array}{cc}{P}_{\theta }(X=x\mid T=t)& =\frac{g_{\theta }(t)h(x)1_{\{T(x)=t\}}}{g_{\theta }(t)\sum _{z:T(z)=t}h(z)}\\ & =\frac{h(x)1_{\{T(x)=t\}}}{\sum _{z:T(z)=t}h(z)}.\end{array}$$ 分母在这里有限且为正，参数因子被消去，条件分布不再依赖参数。这正是充分性。对所有参数下都不会出现的摘要值，可任意选条件分布版本，不影响结论。

反过来，假设 $T$ 充分，选取参数无关的条件概率 $q(x\mid t)$。定义 $$g_{\theta }(t)=P_{\theta }(T=t),h(x)=q(x\mid T(x)).$$ 乘法公式给出 $$P_{\theta }(X=x)=P_{\theta }(T=T(x))q(x\mid T(x)),$$ 就是所需的分解。对可数空间可以统一选取这些条件概率；对连续空间则要使用相应的核与密度版本。

因子相同不表示模型相同

在独立伯努利试验中，总成功数充分；在同方差正态位置模型中，总和充分。这两个结论分别来自各自的联合密度结构，不能只看统计量都写成“求和”就跨模型套用。

均匀上界模型尤其能说明支持的重要性。取两点样本 $x=(0.2,1.8)$ 与 $y=(0.8,1.2)$，两组均值相同。在 $\theta =2$ 时，两密度相同且为正；在 $\theta =1.5$ 时，第一组密度为零，第二组为正。如果只有样本均值携带参数作用，同一均值对应的两密度应始终成固定比例，这里却不成立。因此均值不是该模型的充分统计量。

不能把这个例子简写为某个含 $0/0$ 的似然比后再约分。直接比较支持事件，才能保留导致失败的那一步。

变式。 主例若改为三次读数 $(1,2,6)$，最大值变成六，似然最大点也变为六；上界八相对上界六的似然比为 $(6/8{)}^3=27/64$。没有参与最大值变化的样本细节只进入参数无关部分。

因子分解给出的是充分统计量的判据；它本身并不证明摘要最小或完备，也没有替读者选择无偏、最大似然或贝叶斯估计方法。完成模型压缩后，估计目标与损失函数仍需另行说明。