完备统计量

完备统计量（complete statistic）不允许一个非零的可积函数，在模型的每个参数值下都恰好具有零期望。它是一条关于整族分布的唯一性条件，不是说某次样本已经收集齐全，也不是说该统计量已经把全部参数信息保留下来。

例如，若一个统计量的两种函数都无偏估计同一个目标，两函数之差就在所有参数下期望为零。完备性会迫使这个差几乎处处为零。它由此成为判断无偏估计唯一性的工具。

定义中的三个要求

对模型 $\{P_{\theta }:\theta \in \Theta \}$，统计量 $T$ 完备，是指每个可测函数 $g$，只要满足 $$\begin{array}{cc}{𝔼}_{\theta }|g(T)|& <\mathrm{\infty }(\theta \in \Theta ),\\ {𝔼}_{\theta }g(T)& =0(\theta \in \Theta ),\end{array}$$ 就必有 $P_{\theta }(g(T)=0)=1$ 对所有 $\theta$ 成立。可积性保证期望有定义；同一个 $g$ 不能随着未知参数更换；零期望必须在全部参数下成立。只在一个参数处均值为零，通常不足以得到函数为零。

二项总数的多项式证明

设固定 $n\ge 1$，独立样本 $X_i\sim \mathrm{Bernoulli}(p)$，其中 $p\in (0,1)$，令 $T=\sum _i{X}_i$。要证明 $T$ 完备，假设对每个 $p\in (0,1)$ 都有 $$\sum _{k=0}^{n}g(k)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}=0.$$ 除以正数 $(1-p{)}^n$，并令 $r=p/(1-p)$，得到 $$\sum _{k=0}^{n}g(k)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})r^k=0(r>0).$$ 左边是次数至多为 $n$ 的多项式。一个非零多项式只有有限个根，而这里每个正实数都是根，因此所有系数必须为零。由于二项式系数非零，$g(0)=\cdots =g(n)=0$。这就完成了这个模型的完备性证明，不需要先证明一般指数族的完备性定理。

参数空间缩小后的反例

保留 $n=2$ 的二项分布，但把未知成功率限制为 $\Theta =\{1/4,3/4\}$。取 $$g(0)=3,g(1)=-5,g(2)=3.$$ 其期望为 $$\begin{array}{cc}{𝔼}_{p}g(T)& =3(1-p{)}^2-10p(1-p)+3p^2\\ & =16(p-1/4)(p-3/4).\end{array}$$ 在参数空间中的两个值处，它都等于零，但 $g(T)$ 从不等于零。这一受限模型的总数并不完备。

金色点对应受限参数空间。两个零点允许非零函数存在，全部参数的零期望条件则强得多。

这个反例也说明，“条件更多”并不总让完备性更容易成立。参数空间变小后，需要检验的零期望等式变少，非零函数反而可能逃过这些检验。

无偏函数的唯一性与算例

若 $a(T)$ 与 $b(T)$ 都是同一目标 $h(\theta )$ 的可积无偏估计，则 $${𝔼}_{\theta }[a(T)-b(T)]=0(\theta \in \Theta ).$$ 当 $T$ 完备时，定义直接给出 $a(T)=b(T)$ 几乎处处。这只先断言在 $T$ 的函数类中无偏答案唯一；要得到全部无偏估计量中的最小方差，还需充分性和莱曼－谢费定理。

在前面的完整伯努利模型中，取 $n\ge 2$，估计目标 $p^2$。因为 $$T(T-1)=\sum _{i\ne j}{X}_i{X}_j,$$ 右侧有 $n(n-1)$ 个有序项，每项期望为 $p^2$，所以 $$\widehat{p^2}=\frac{T(T-1)}{n(n-1)}$$ 无偏，而且它是总数的函数。完备性保证，任何其他只通过 $T$ 计算的可积无偏估计，都与它相同。

当 $n=4,T=3$ 时，该值是 $6/12=1/2$，而直接将成功比例平方得到 $9/16$。后者一般不是无偏估计，因为 $${𝔼}_p(T/n{)}^2=p^2+\frac{p(1-p)}{n}.$$ 变式。 $n=5,T=2$ 时，无偏估计为 $2/(5\times 4)=1/10$；不能把分母误写为 $n^2$，因为乘积求和排除了同一次试验与自身相乘的项。

与充分性及独立性的区别

在包含多次独立伯努利试验的模型中，单个观测 $X_1$ 自身也是完备统计量：对 $g(0),g(1)$，等式 $(1-p)g(0)+pg(1)=0$ 对全部 $p$ 成立，就迫使两值都为零。它却没有保留其他试验的信息，所以一般不是整个样本的充分统计量。

反过来，完整样本总是充分，但未必完备。充分性、最小充分性与完备性因此应分别验证。巴苏定理把完备充分统计量与辅助统计量联系起来，其中“完备”与“充分”两个条件都有自己的作用。