图的细分

图的细分是把一条边换成连接同一对端点的路径。最简单的细分在原边中插入一个新顶点，把一条边替换为两条边；新顶点只连接这两条边。

一次细分

设有限简单无向图 $G$ 有边 $uv$。引入不属于原顶点集的新顶点 $w$，删除边 $uv$，再添加 $uw,wv$。新图中的 $w$ 的度为 2，$u,v$ 各失去一条边又各得到一条边，度数不变。一次操作使顶点数增加一、边数也增加一。

例如三角形 $1-2-3-1$ 中，在边 $12$ 上插入 $4$，得到四环 $1-4-2-3-1$。原图有三个顶点、三条边；新图有四个顶点、四条边。

细分边 12：删除原边，增加边 14 和 42。

可以重复细分同一条边，将其替换为含多个新顶点的路径；也可以细分不同的边。每次使用的新顶点必须是新的，不能把两条替换路径在中间合并，否则就是其他图变换。

哪些性质保持

细分保持连通分量。原图的每条路径经过 $uv$ 时，可以把这一段替换为 $u-w-v$；反过来，新顶点 $w$ 只有两个邻居，跨过它的路径段可缩回原来的边。因此细分前后，原顶点之间是否连通不变；新顶点属于原边所在的分量。

细分也保持是否存在环：原来含 $uv$ 的环变成使用 $uw,wv$ 的环，不含该边的环不变；任何经过 $w$ 的新环必须使用与它相连的两条边，缩回之后得到原环。长度则可能改变：上面的唯一环从长度 3 变成长度 4，所以图围长不一定保持。

顶点数和边数各增加一，而连通分量数不变，因此 $|E|-|V|+c$ 不变，其中 $c$ 是连通分量数。这个数是图的环空间维数，也称回路秩；该结论并不表示每个环的长度保持不变。

与平面画法

如果原图已有无交叉的平面画法，可在被细分的边线上选一点作为新顶点，沿原线分别画两段边，不会引入新交叉。反过来，细分图的平面画法可沿度为二的新顶点把两段边拼接为原边，因此细分前后的平面性相同。绘图时必须区分“边线经过一个点”和“把该点指定为新顶点”。