圆弧段的唯一性与全等

一条弦 $AB$ 与它一侧的圆弧围成圆弧段。固定弦及其所在的一侧，再固定弧上点看到弦的圆周角 $\phi$，圆弧段就被唯一确定；若两条弦等长且对应圆周角相等，相应圆弧段全等。这分别是《几何原本》第三卷命题 23、24。

弦和角怎样确定圆心

把弦两端放在 $A=(-a,0)$、$B=(a,0)$，取所讨论的圆弧段在上方，$a>0$。圆心一定在弦的垂直平分线上，记为 $O=(0,h)$；半径 $R=\sqrt{a^2+h^2}$。取上方弧的最高点 $C=(0,h+R)$，等腰三角形 $ACB$ 给出 $$\tan \frac{\phi }{2}=\frac{a}{h+R}.$$ 设 $y=h+R$，从 $(y-h{)}^2=a^2+h^2$ 解出 $h=(y^2-a^2)/(2y)$；代入 $y=a\cot (\phi /2)$ 得 $$h=a\cot \phi .$$ 所以同一条弦、同一侧及同一个 $0<\phi <180^{\circ }$ 只给一个圆心，不能作出两个大小不同却“相似”的圆弧段。$\phi <90^{\circ }$ 时 $h>0$，$\phi =90^{\circ }$ 时 $h=0$，钝角时 $h<0$。

等弦对应全等圆弧段

若另一条弦 $DE$ 与 $AB$ 等长，刚体平移、旋转可把 $DE$ 叠到 $AB$，同时把指定侧对应起来。两圆弧段既有相同的 $a$ 又有相同的 $\phi$，上式使圆心的有向距离 $h$ 也相同，因而两段重合并全等。只说“弦等长”却不指定大小弧段和角，不能推出段的全等。

参考资料

• 《几何原本》III.23：同侧同弦不能有两个相似而不等的圆弧段。
• 《几何原本》III.24：等弦上的相似圆弧段全等。
• 继续阅读：给定弦与圆周角作圆弧、圆周角定理。