给定弦与圆周角作圆弧

已知线段 $AB$ 和一个 $0<\phi <180^{\circ }$ 的角，可以在 $AB$ 的指定一侧作圆弧，使该弧上任一点 $C$ 都有 $\mathrm{\angle }ACB=\phi$。这对应《几何原本》第三卷命题 33。

从弦的端点作切线

把 $AB$ 横放，待作弧指定在上方。在 $A$ 的下方作射线 $t$，使射线 $AB$ 与 $t$ 的夹角为 $\phi$。过 $A$ 作 $t$ 的垂线；再作 $AB$ 的垂直平分线，两线交于 $O$。以 $O$ 为圆心、$OA$ 为半径画圆，取弦 $AB$ 上方的那段弧。

$O$ 在垂直平分线上，故 $OA=OB$，圆确实经过两端点；$OA\perp t$，故 $t$ 是圆在 $A$ 处的切线。由切线与弦定理，在弦另一侧的圆周角 $\mathrm{\angle }ACB$ 等于所作弦切角 $\phi$。这里把切线射线放在指定弧的另一侧，正是为了固定该角而不误取补角。

给定弦和角后，切线方向与垂直平分线确定圆心。

锐角、直角与钝角

记 $a=AB/2$。若把弦中点设为 $(0,0)$、上方为正，算出的圆心高度为 $h=a\cot \phi$：锐角时圆心在弦上方，直角时圆心在中点，钝角时在弦下方。这并不改变“所取弧在上方”的要求。端点角 0 或 $180^{\circ }$ 对应退化极限，不是普通有限圆弧的作图题。

参考资料

• 《几何原本》III.33：在给定线段上作指定圆周角的圆弧段。
• 继续阅读：圆弧段的唯一性与全等、已知圆上截取指定圆周角。
• 推导关联：《几何原本》III.32：弦切角。