圆的弦位于圆内

圆周上取不同两点 $A,B$，连接的线段 $AB$ 是弦。除两个端点外，弦的每个点都在圆盘内部；它不沿着圆周绕行。这是《几何原本》第三卷命题 2。

一次展开说明整条线段

设圆心为 $O$、半径为 $R$。以 $O$ 为坐标原点，把 $A,B$ 的位置向量记为 $a,b$。弦内一点的位置向量是 $x=(1-t)a+tb$，其中 $0<t<1$。把长度平方展开，并利用 $a\cdot b=R^2-|a-b{|}^2/2$，便得到 $$|OX{|}^2=R^2-t(1-t)|AB{|}^2<R^2.$$ 严格不等号来自 $A\ne B$ 和 $0<t<1$；端点对应 $t=0,1$，距离才等于半径。

例如半径为 5 的圆有一条长 8 的弦，其中点距圆心为 3；上式比只检查中点更强，它同时证明每一个内点都在圆内。这也是圆盘的凸性在圆上的具体表现。弦长与圆心距会用直角三角形算出中点距离 3。

参考资料

• 《几何原本》III.2：两圆周点的连线位于圆内。
• 继续阅读：圆与弧度、垂径定理。
• 推导关联：《几何原本》III.14：弦与圆心距。