圆的面积

平面上到固定点距离不超过 $r$ 的区域是半径为 $r$ 的圆盘，其面积为 $A=\pi r^2$。这里的面积衡量圆内区域，单位是长度单位的平方；周长 $2\pi r$ 则衡量边界长度。

从正多边形逼近圆

在圆内接正 $n$ 边形，把中心与顶点相连，可分成 $n$ 个等腰三角形，每个顶角 $2\pi /n$，总面积 $$A_n^{\mathrm{i}\mathrm{n}}=\frac{n}{2}{r}^2\sin \frac{2\pi }{n}.$$ 给圆作外切正 $n$ 边形，每个三角形以半径 $r$ 为高、半边长 $r\tan (\pi /n)$，总面积 $A_n^{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}=n{r}^2\tan (\pi /n)$。上标 in 与 out 分别标记内接、外切多边形的面积；圆盘夹在两者之间。

内接多边形把圆盘分成三角形；边数增加时，其边界逐渐贴近圆周。

令 $n\to \mathrm{\infty }$，用 $\sin t/t\to 1$ 与 $\tan t/t\to 1$，两式都趋向 $\pi r^2$。夹在其中的圆面积也只能等于 $\pi r^2$。这种夹逼把“切成无限细扇形”的直观说法变成可检验的极限论证。

面积与半径的平方关系

半径从2厘米增到3厘米，面积从 $4\pi$ 平方厘米增到 $9\pi$ 平方厘米，增加 $5\pi$，并非增加半径比例 $3/2$ 倍。一般半径乘 $k>0$，面积乘 $k^2$，这与相似图形的面积比一致。若挖去半径2厘米的同心小圆，留下的圆环面积就是 $\pi (3^2-2^2)=5\pi$ 平方厘米，而不是 $\pi (3-2{)}^2$。

参考资料

• OpenStax《Contemporary Mathematics》§10.6：圆与正多边形面积。
• OpenStax《Calculus Volume 1》§2.3：夹逼与三角极限。