基本解

基本解（fundamental solution）是线性微分算子对单位点源的响应。它把“解一个给定源项”转成把许多平移后的点源响应叠加。点源通常用狄拉克分布表示，不能把它当成一个在零取无穷大、别处为零的普通函数来逐点求导。

对常系数线性微分算子 $P(D)$，若分布 $E$ 满足 $$P(D)E={\delta }_0,$$ 就称 $E$ 为它的一个基本解。算子的符号必须明确，例如 $\Delta$ 与 $-\Delta$ 的基本解相差负号；边界条件和唯一性也不由这条等式自动决定。

分布如何表达点源

测试函数指光滑且具有紧支集的函数 $\phi$。狄拉克分布按 $$⟨{\delta }_0,\phi ⟩=\phi (0)$$ 作用。局部可积函数 $E$ 则通过积分 $⟨E,\phi ⟩=\int E\phi$ 视为分布。分布导数把求导转移到测试函数上，每转移一次带一个负号： $$⟨E^{\prime },\phi ⟩=-⟨E,{\phi }^{\prime }⟩.$$ 因此含尖点或不连续的响应也能精确讨论导数，点源的信息记录在测试函数的中心值上，而非普通函数的单点数值。

一维负二阶导数的基本解

取 $P=-d^2/d{x}^2$，定义 $E(x)=-|x|/2$。零以外它是直线，二阶导数为零；但左右一阶导数分别为 $1/2$ 与 $-1/2$，中心发生负一的跳跃。

严格验证时，对任意测试函数，有 $$⟨-E^{″},\phi ⟩=\frac{1}{2}{\int }_{ℝ}|x|{\phi }^{″}(x)dx.$$ 把积分拆在零的两侧并分部积分。因测试函数紧支集，远处边界项为零；两侧分别得到 $$\begin{array}{cc}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}x{\phi }^{″}(x)dx& =\phi (0),\\ {\int }_{-\mathrm{\infty }}^0(-x){\phi }^{″}(x)dx& =\phi (0).\end{array}$$ 总和除以二正好为 $\phi (0)$，所以 $-E^{″}={\delta }_0$。忽略尖点而只在零外求二阶导数，会错误地把点源删掉。

点源来自斜率跳跃，不是来自零以外的曲率。此图对应负二阶导数算子，符号已固定。

与一段均匀源项卷积

若源项为 $f={\mathrm{𝟏}}_{[-1,1]}$，即区间内为一、外部为零，取 $$u(x)=(E\ast f)(x)=-\frac{1}{2}{\int }_{-1}^1|x-y|dy.$$ 当 $|x|\le 1$，在 $y=x$ 处分开积分，得到 $\int |x-y|dy=x^2+1$。在区间外，所有差的符号相同，积分为 $2|x|$。因此 $$u(x)=\{\begin{array}{cc}-(x^2+1)/2,& |x|\le 1,\\ -|x|,& |x|>1.\end{array}$$ 内部有 $-u^{″}=1$，外部有 $-u^{″}=0$。在两个端点，函数值与一阶导数都连续，所以没有额外狄拉克点源；整个分布方程恰为 $-u^{″}=f$。

把点源响应叠加后，单个尖点被摊成区间内的曲率；端点没有一阶导数跳跃，因而没有多出的点源。

例如对 $f\in C_c^{\mathrm{\infty }}(ℝ)$，即光滑紧支集源项，常系数算子与卷积相容，在分布意义可写 $P(E\ast f)=(PE)\ast f={\delta }_0\ast f=f$。紧支集等条件保证相关卷积有定义；对任意增长的函数或任意两个分布，不能不加条件直接卷积。

边界条件的有解答变式

变式。 若只在区间 $(-1,1)$ 解 $-v^{″}=1$，并要求 $v(-1)=v(1)=0$，上面的卷积解本身在两端值为负一。加上齐次解常数一，得到 $$v(x)=u(x)+1=(1-x^2)/2.$$ 它满足方程和两端条件。这表明全空间基本解先给一个特解，再由齐次解或边界Green函数调整边界；基本解并不自动代表指定边界的最终解。

在三维，$-\Delta$ 的标准基本解是 $1/(4\pi |x|)$；二维则是 $-\log |x|/(2\pi )$。这些系数由包围点源的小球通量确定。不同空间维数、算子和边界给出不同核；热核描述的则是随时间扩散的点源响应。

参考文献

Stanford University，Math220B课程讲义，Laplace’s Equation — Math220B course notes，§3.1，式(3.2)—(3.3)，基本解的分布验证及卷积。