热核

热核（heat kernel）描述单位点源经过一定时间后的扩散分布。在整个欧氏空间、扩散系数为正常数的热方程中，它是一个随时间变宽、峰值降低、总质量保持一的高斯核。核本身与某个具体初始温度的解不同；后者由核与初始数据卷积得到。

设空间维数为正整数 $n$，扩散系数 $\kappa >0$。对 $t>0$，全空间热核为 $$K_t(x)=\frac{1}{(4\pi \kappa t{)}^{n/2}}\exp (-\frac{|x{|}^2}{4\kappa t}).$$ 它满足 ${\partial }_t{K}_t=\kappa \Delta K_t$。在概率意义下，这是均值零、协方差矩阵 $2\kappa t{I}_n$ 的正态密度；方差中的二不能遗漏。

方程和总质量的逐项检查

对数求导给出 $${\partial }_t{K}_t=(-\frac{n}{2t}+\frac{|x{|}^2}{4\kappa t^2})K_t.$$ 对每个空间坐标分别求两次导数再相加，得到 $$\Delta K_t=(-\frac{n}{2\kappa t}+\frac{|x{|}^2}{4{\kappa }^2{t}^2})K_t.$$ 第二式乘以 $\kappa$ 恰好等于第一式，验证方程。再作换元 $x=\sqrt{4\kappa t}y$，利用高斯积分 ${\int }_{{ℝ}^n}{e}^{-|y{|}^2}dy={\pi }^{n/2}$，可得 $${\int }_{{ℝ}^n}{K}_t(x)dx=1.$$ 峰值随时间下降，并不意味着质量消失；下降与宽度增加相互补偿。

三条曲线在整个实轴下的面积均为一，图窗外的尾部仍计入总质量。纵轴是单位点源的密度，不是固定物体的实际温度。

初始点源的正确极限

对任意光滑紧支集测试函数 $\phi$，同样换元得 $$\begin{array}{cc}& \int K_t(x)\phi (x)dx\\ & ={\pi }^{-n/2}\int e^{-|y{|}^2}\phi (\sqrt{4\kappa t}y)dy.\end{array}$$ 测试函数有界，乘上可积的高斯函数可用控制收敛定理，因此 $t\downarrow 0$ 时结果趋于 $\phi (0)$。这就是 $K_t\to {\delta }_0$ 的分布意义。零以外每个固定点处函数趋零，零点处却发散；点态极限不能替代这项单位质量极限。

若把核在负时间定义为零，得到因果时空分布 $\Gamma (x,t)={\mathrm{𝟏}}_{t>0}{K}_t(x)$，则 $$({\partial }_t-\kappa \Delta )\Gamma ={\delta }_{(0,0)}.$$ 对测试函数从时间 $\epsilon$ 起分部积分，内部项由热方程消去，留下初始边界的核平均；再令 $\epsilon \downarrow 0$，正好得到测试函数在时空原点的值。这把正时间的核与基本解定义联系起来。

高斯初值的完整卷积

在一维取 $\kappa =1$、初值 $f(x)=e^{-x^2}$。解为 $$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}{\int }_{ℝ}\exp (-\frac{(x-y{)}^2}{4t}-y^2)dy.$$ 指数配方： $$\begin{array}{cc}-\frac{(x-y{)}^2}{4t}-y^2& =-\frac{1+4t}{4t}{(y-\frac{x}{1+4t})}^2\\ & -\frac{x^2}{1+4t}.\end{array}$$ 第一项的积分是 $\sqrt{4\pi t/(1+4t)}$，所以 $$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{1+4t}}\exp (-\frac{x^2}{1+4t}).$$ 当 $t=3/4$，得到 $u(x,t)=e^{-x^2/4}/2$，故中心值为 $1/2$，$x=2$ 时为 $1/(2e)$。整条曲线的积分仍为初值的 $\sqrt{\pi }$，不是一；卷积保留输入质量，只有单位点源核本身被归一化为一。

本图的初始总质量为根号π，两条曲线都保持这项质量。它与上一幅单位质量核图的对象不同。

变式。 改为 $\kappa =2$、$t=3/8$，扩散时间尺度 $\kappa t$ 仍为 $3/4$，同一初值产生完全相同的剖面。一般式只需将 $1+4t$ 替换成 $1+4\kappa t$。

连续演化与边界限制

高斯配方还给出半群关系 $K_s\ast K_t=K_{s+t}$：分两段时间扩散，与一次扩散相同。这对应方差 $2\kappa s+2\kappa t$ 相加，不是把峰值简单相乘。对有界连续初值，核的近似恒等性质恢复初始值，正时间的高斯衰减保证可在卷积中求导。

上述核适用于整个空间。有限区间、吸收或反射边界、曲面几何及变系数方程会产生不同热核；不能把这个高斯表达式不加调整地当作所有边值问题的解。反向热演化还会放大高频误差，正时间的平滑性质不代表能够稳定地从模糊数据恢复过去。

参考文献

Stanford University，Math220B课程讲义，Heat Equation — Math220B course notes，§2.4.2，式(2.21)；§2.5.4，式(2.22)—(2.23)。