多尺度法

多尺度法（method of multiple scales）是同时引入多个空间或时间尺度，构造渐近近似的方法。在弱扰动振子中，每一轮振荡很快，振幅和相位却可能经过许多轮后才明显改变。把这些变化硬塞进只含原时间变量的普通展开，常产生随时间增长的长期项；多尺度法把这种积累移入慢变量的演化方程。

普通展开中的长期项

考虑一个无量纲初值例子 $$x^{″}+2\epsilon x^{\prime }+x=0,x(0)=1,x^{\prime }(0)=0,0<\epsilon <1.$$ 它描述单位固有频率下的弱阻尼振动。尝试普通展开 $x=x_0+\epsilon x_1+\cdots$，逐阶比较： $${x_0}^{″}+x_0=0,x_0(0)=1,{x_0}^{\prime }(0)=0,$$ 所以 $x_0=\cos t$。下一阶满足 $${x_1}^{″}+x_1=-2{x_0}^{\prime }=2\sin t,x_1(0)={x_1}^{\prime }(0)=0.$$ 由于右端频率恰与齐次方程相同，直接核对可得 $x_1=\sin t-t\cos t$。普通一阶近似为 $$x_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}}=\cos t+\epsilon (\sin t-t\cos t).$$ 当 $t\asymp 1/\epsilon$ 时，$\epsilon t\cos t$ 已不比主项小。这称为长期项或世俗项。它不是原系统的真实振幅无限增长，而是展开的有效范围已经用尽。

ε=0.1。普通一阶展开含有εt项，在慢时间达到一之后不能继续按小修正理解；多尺度近似保留了指数衰减包络。

快慢时间与链式法则

引入快时间 $\tau =t$ 和慢时间 $T=\epsilon t$。构造函数 $X(\tau ,T;\epsilon )$，最终沿 $(\tau ,T)=(t,\epsilon t)$ 取值。推导时把两变量独立处理，沿实际轨迹的导数则由链式法则确定： $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}={\partial }_{\tau }+\epsilon {\partial }_T,\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{t}^2}={\partial }_{\tau \tau }+2\epsilon {\partial }_{\tau T}+{\epsilon }^2{\partial }_{TT}.$$ 设 $X=X_0+\epsilon X_1+\cdots$。零阶方程为 $X_{0,\tau \tau }+X_0=0$，所以 $$X_0=A(T)\cos \tau +B(T)\sin \tau .$$ 这里的系数允许随慢时间变化，正是比普通展开多出的自由度。对同一方法及链式法则的讲解，可参见 MIT 的双时间尺度讲义；本文初值和比较计算另行选取。

去共振条件决定慢演化

一阶方程是 $$X_{1,\tau \tau }+X_1=-2X_{0,\tau T}-2X_{0,\tau }.$$ 将 $X_0$ 逐项求导，得到右端 $$2(A^{\prime }+A)\sin \tau -2(B^{\prime }+B)\cos \tau .$$ 撇号在这里指对 $T$ 求导。只要这两个系数之一不为零，求解 $X_1$ 就会再次出现 $\tau \cos \tau$ 或 $\tau \sin \tau$。为了使一阶修正在每个固定慢时间下保持快时间有界，选择 $$A^{\prime }+A=0,B^{\prime }+B=0.$$ 主阶初值给出 $A(0)=1,B(0)=0$，因此 $X_0=e^{-T}\cos \tau$。于是主阶多尺度近似为 $$x_{\mathrm{m}\mathrm{s},0}(t)=e^{-\epsilon t}\cos t.$$ 它把普通展开中的 $1-\epsilon t$ 重新组织成一个完整的缓慢指数因子。此时初始导数还有 $-\epsilon$ 的偏差，不能称作精确满足原初值。若保留一阶修正，$X_1=e^{-T}\sin \tau$ 满足当前一阶齐次方程，并补偿初始导数，得到 $$x_{\mathrm{m}\mathrm{s},1}(t)=e^{-\epsilon t}(\cos t+\epsilon \sin t).$$ 这是满足当前阶方程与初值的一种修正选择；继续到更高阶时，还需相应的去共振条件。它的初始位移和速度都正确，但仍不是原方程的精确解。

用精确解确定适用时间

本例的特征根为 $-\epsilon \pm i\omega$，其中 $\omega =\sqrt{1-{\epsilon }^2}$。精确解为 $$x(t)=e^{-\epsilon t}(\cos \omega t+\frac{\epsilon }{\omega }\sin \omega t).$$ 在有限时间上，$\omega =1-{\epsilon }^2/2+O({\epsilon }^4)$，频率修正看似很小；在 $t=O(1/\epsilon )$ 上，相位差却达到 $O(\epsilon )$。

可以严格给出这个尺度的误差界。设 $0<\epsilon \le 1/2$，则 $\omega \ge \sqrt{3}/2$，并有 $$1-\omega =\frac{{\epsilon }^2}{1+\omega },|\cos \omega t-\cos t|\le (1-\omega )t.$$ 类似地，分解正弦项的系数误差和相位误差，得到 $$|x-x_{\mathrm{m}\mathrm{s},1}|\le e^{-\epsilon t}[(1+\epsilon )(1-\omega )t+\epsilon ({\omega }^{-1}-1)].$$ 对 $0\le t\le L/\epsilon$，右端为 $O(\epsilon )$，常数只与固定 $L$ 有关。这里保留了一阶振幅修正，却没有二阶相位修正，所以不能在这个长时间区间上宣称误差为 $O({\epsilon }^2)$。

纵轴比较慢振幅e^(−T)与其局部展开1−T。后者在T大于一时变负，说明小参数展开必须连同所固定的时间尺度一起理解。

相位尺度与非线性振子

一个可复算变式是 $x^{″}+(1+\epsilon )x=0$、$x(0)=1,x^{\prime }(0)=0$。精确频率是 $\sqrt{1+\epsilon }=1+\epsilon /2+O({\epsilon }^2)$。若仍只用 $\cos t$，在 $t=O(1/\epsilon )$ 上就会积累有限相位误差；保留慢相位后用 $\cos (t+T/2)$，才捕捉一阶频率变化。这里慢变量改变的是相位，而不是衰减振幅。

弱非线性振子也可通过相同的去共振条件得到振幅、相位方程。 但多个模态近共振时，慢变量常相互耦合；振幅接近分岔点或解离开统一有界区域时，原有展开未必仍有效。去除某一阶的长期项只是构造近似的一步，误差阶和有效时间仍要另证。平均法常导出相同的主阶慢演化，但它从周期抵消与近恒等变换出发，提供另一种组织误差分析的方式。