多项式系数

多项式系数计算把 $n$ 个不同对象分配给若干个有标签的组、并指定每组数量的方法数。设组数为 $r \geq 1$ ，各组大小为非负整数 $n_{1}, \dots, n_{r}$ ，且 $n_{1} + \dots + n_{r} = n$ ，则记 $(\binom{n}{n_{1}, \dots, n_{r}}) = \frac{n!}{n_{1}! \dots n_{r}!} .$ 这里 $0! = 1$ ，允许某些有标签的组为空。每个对象进入一个组，组内排列顺序不计。

按组选择的计数

先从 $n$ 个对象选出第一组的 $n_{1}$ 个，再从余下对象选第二组的 $n_{2}$ 个，依次继续。最后一组由剩余对象确定。乘法计数原理给出 $\begin{matrix} (\binom{n}{n_{1}}) (\binom{n - n_{1}}{n_{2}}) \dots \\ \times (\binom{n_{r}}{n_{r}}) = \frac{n!}{n_{1}! \dots n_{r}!} . \end{matrix}$ 相邻选择式中分子与前一项分母逐步消去。每种分配决定唯一的一串选择，每串选择也确定唯一分配，因此没有重复计数。^[1]

例如，六本不同的书分给甲、乙、丙，分别分三本、两本、一本。先给甲选 $(\binom{6}{3}) = 20$ 种，再给乙从余下三本中选两本，有 $(\binom{3}{2}) = 3$ 种，最后一本给丙。故总数是 $20 \times 3 = 60$ ，也等于 $\frac{6!}{3! 2! 1!} = 60.$ 甲、乙、丙的角色已经固定，交换他们手中的书通常会改变分配方案。

与重复对象的排列

六个字符 $A, A, A, B, B, C$ 的不同排列也有 $60$ 种。先把每一类相同字符临时编号，六个不同标签共有 $6!$ 个排列。每个最终排列恰好来自三枚 $A$ 标签的 $3!$ 种交换与两枚 $B$ 标签的 $2!$ 种交换，故除以 $3! 2! 1!$ 。把位置看作六个不同对象、字符类别看作组，就与上一节的分配问题一一对应。

多项式展开

对非负整数 $n$ ，把 $(x_{1} + \dots + x_{r})^{n}$ 写成 $n$ 个相同括号的乘积。从每个括号中选一项，若恰有 $n_{j}$ 次选到 $x_{j}$ ，得到的乘积为 $x_{1}^{n_{1}} \dots x_{r}^{n_{r}}$ 。选择这组次数的方法正是上述多项式系数，所以 $\begin{matrix} (x_{1} + \dots + x_{r})^{n} & = \sum_{n_{1} + \dots + n_{r} = n} (\binom{n}{n_{1}, \dots, n_{r}}) \\ \times x_{1}^{n_{1}} \dots x_{r}^{n_{r}} . \end{matrix}$ 求和遍历所有非负整数解。两项时，这个公式就是二项式定理。例如， $(x + y + z)^{4}$ 中 $x^{2} y z$ 的系数为 $(\binom{4}{2, 1, 1}) = \frac{4!}{2! 1! 1!} = 12.$

格点路径

从平面格点 $(0, 0)$ 出发，每步向右或向上走一格。到 $(3, 2)$ 的每条路径恰有三步向右、两步向上。用 $R$ 和 $U$ 分别记录两种步，路径与三枚 $R$ 、两枚 $U$ 的不同排列对应。因此共有 $(\binom{5}{3, 2}) = \frac{5!}{3! 2!} = 10$ 条路径。图中的一条路径依次走 $R, U, R, R, U$ ，到达指定终点。

三列两行的格点中，一条路径从原点依次向右、向上、向右、向右、向上，到达三、二。 — 路径的五步中有三步向右、两步向上。改变这五步的顺序会改变路径。

对 $r$ 个坐标方向同样成立，走到 $(n_{1}, \dots, n_{r})$ 的路径数量由对应的多项式系数给出。这里每步只允许在一个坐标方向上前进一格。

若组没有标签，还要处理交换整个组造成的重复。六个不同对象分成三个无标签的两元素组时，有标签的三组有 $6! / (2!)^{3} = 90$ 种；三个大小相同的组可交换 $3!$ 次，故无标签分组有 $90 / 6 = 15$ 种。这一步依赖三个组的大小相同。

参考资料

↑ 美国国家标准与技术研究院，NIST Digital Library of Mathematical Functions, §26.4，定义及公式26.4.2。访问于2026年11月7日。

[1] 美国国家标准与技术研究院，NIST Digital Library of Mathematical Functions, §26.4，定义及公式26.4.2。访问于2026年11月7日。

[1]