定积分的应用

定积分的应用有一个共同的计算骨架：把一段范围切成小段，写出每小段的贡献，再让分割变细。真正需要先决定的是每小段贡献什么。面积的高度是两条曲线之差；位移的高度是带符号速度；立体体积的高度则是截面积。对象与单位确定后，积分式才有明确含义。

两条曲线之间的面积

在 $0 \leq x \leq 2$ 上，直线 $y = 2 x$ 位于抛物线 $y = x^{2}$ 上方，因为 $2 x - x^{2} = x (2 - x) \geq 0$ 。一条宽 $Δ x$ 的窄条高度近似为 $2 x - x^{2}$ ，其面积近似为 $(2 x - x^{2}) Δ x$ 。把小条相加并取极限，得 $S = \int_{0}^{2} (2 x - x^{2}) d x = {[x^{2} - \frac{x^{3}}{3}]}_{0}^{2} = \frac{4}{3} .$ 若横纵坐标都以米计，答案的单位是平方米。图中两曲线在 0 与 2 相交，竖条的上下端分别落在直线和抛物线上；只取 $\int_{0}^{2} 2 x d x$ 会把抛物线下方也算进去。

从零到二，直线y等于二x在抛物线y等于x平方上方，两曲线间填色并画一条竖直窄条，其高度标为二x减x平方 — 面积小条的高度是上方函数减下方函数。

如果上下位置在区间中交换，必须在交点分段，或对差取绝对值；直接把带符号的差积分可能让两块面积互相抵消。这是积分的有向累积与几何面积的区别。

速度积分给位移，绝对值积分给路程

设一辆沿直线运动的物体在 $0 \leq t \leq 3$ 秒内的速度为 $v (t) = 2 t - 2$ 米每秒。这是一个教学用的速度模型：前 1 秒速度为负，之后速度为正。用微积分基本定理计算净位移， $Δ s = \int_{0}^{3} (2 t - 2) d t = {[t^{2} - 2 t]}_{0}^{3} = 3 米 .$ 总路程不能用净位移代替。速度在 $t = 1$ 变号，因此 $\int_{0}^{3} | v (t) | d t = \int_{0}^{1} (2 - 2 t) d t + \int_{1}^{3} (2 t - 2) d t = 1 + 4 = 5 米 .$ 图中横轴下的三角形面积为 1，在位移里记作 $- 1$ ；横轴上的三角形面积为 4，在位移里记作 $+ 4$ 。路程把两者都按正长度计。

速度直线从时间零速度负二上升，时间一过零，时间三速度四；横轴下的三角形标负一，横轴上的三角形标正四 — 有向面积相加给位移三米；面积绝对值相加给路程五米。

截面积积分给体积

把 $0 \leq x \leq 1$ 上直线 $y = x$ 下方的区域绕 $x$ 轴旋转，得到圆锥。固定一个 $x$ ，垂直于轴的截面是半径 $x$ 的圆盘，面积 $A (x) = π x^{2}$ 。厚 $Δ x$ 的薄片体积约为 $A (x) Δ x$ ；叠加所有薄片得到 $V = \int_{0}^{1} π x^{2} d x = \frac{π}{3} .$ 坐标长度若用米，结果是立方米。这个计算也核对了底面半径 1、高 1 的圆锥体积公式 $V = π r^{2} h / 3$ 。换成其他立体时，要重新确定真实截面的面积，不能把边界曲线的高度直接当体积来积分。二重积分把这种“小块贡献相加”的想法推广到平面区域。

参考资料