对数正态分布

对数正态分布（lognormal distribution）是正随机变量的分布，其自然对数服从正态分布。参数 $\mu \in ℝ$、$\sigma >0$ 是对数的均值与标准差，并不是原变量的均值与标准差。取对数前应固定计量单位；有量纲量的对数可理解为除以一个固定参考单位后的数值对数。

设某个合成乘法模型写成 $X=10e^{Z/2}$，$Z\sim N(0,1)$。每次波动作用在倍数上，X 始终为正；其中位数为十，而均值将高于十，因为向上的大倍数对平均值影响更大。

单调变换与密度

若 $Y\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，定义 $X=e^Y$，记为 $\mathrm{Lognormal}(\mu ,{\sigma }^2)$。对 $x>0$， $$F_X(x)=\Phi \left(\frac{\log x-\mu }{\sigma }\right),f_X(x)=\frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi }}\exp [-\frac{(\log x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}].$$ 因 $\mathrm{d}(\log x)/\mathrm{d}x=1/x$，密度多出这个雅可比因子；直接把正态曲线的横坐标取指数而不改纵坐标，会丢失归一化。用 $y=\log x$ 代回积分，便恢复总面积一的正态密度。$x\le 0$ 时累积分布为零，闭支撑为 $[0,\mathrm{\infty })$，但零点不可能取到且无点质量。SciPy 中对应 s=σ, scale=exp(μ), loc=0。

两曲线中位数均为十；σ 较大者更右偏。

配方求所有实数阶矩

对任意实数 r，由正态变量积分， $$𝔼X^r=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp [ry-\frac{(y-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}]\mathrm{d}y.$$ 将指数配方： $$ry-\frac{(y-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}=-\frac{(y-\mu -r{\sigma }^2{)}^2}{2{\sigma }^2}+r\mu +\frac{r^2{\sigma }^2}{2}.$$ 第一项仍是一整个归一化正态密度，故 $$𝔼X^r=e^{r\mu +r^2{\sigma }^2/2},𝔼X=e^{\mu +{\sigma }^2/2},\mathrm{Var}(X)=e^{2\mu +{\sigma }^2}(e^{{\sigma }^2}-1).$$ 所有实数阶矩都有限。另一方面，$𝔼e^{tX}$ 对任何 $t>0$ 都发散：在对数坐标 y 中，指数 $t{e}^y-(y-\mu {)}^2/(2{\sigma }^2)$ 最终趋向正无穷，积分甚至不能使被积函数趋零。这说明“所有正整数矩存在”并不保证矩母函数在零的右邻域存在。

中位数由 $F(e^{\mu })=1/2$ 得到 $e^{\mu }$。对数密度对 x 求导为 $-[1+(\log x-\mu )/{\sigma }^2]/x$，令其为零得到众数 $e^{\mu -{\sigma }^2}$。因此只要 $\sigma >0$，众数、中位数、均值依次增大。

倍数区间与相加的边界

主例 $\mu =\log 10,\sigma =1/2$ 的均值为 $10e^{1/8}\approx 11.331485$，众数为 $10e^{-1/4}\approx 7.788008$。区间 $[10e^{-1/2},10e^{1/2}]$ 在取对数标准化后恰好变为 $[-1,1]$，所以 $$Pr(10e^{-1/2}\le X\le 10e^{1/2})=\Phi (1)-\Phi (-1)\approx \mathrm{0.682689.}$$ 图中的两端约为 $6.065307$ 与 $16.487213$。它们相对中位数是对称倍数，却不是对称的加减距离。

端点为 10e^(−1/2) 与 10e^(1/2)，累计概率分别为 Φ(−1) 与 Φ(1)。

作为变式，把 X 整体乘二，中位数、均值、上述区间端点都乘二，对数均值增加 $\log 2$，对数标准差不变。若两个对数正态变量独立，其乘积的对数是两个独立正态变量的和，因此仍对数正态；其对数均值和方差分别相加。独立条件可以弱化为两个对数联合正态并计入协方差，但仅知道两个边际各为正态还不够。

原变量相加没有同样的闭合规则。不能把独立 $X_1+X_2$ 的对数写成 $\log X_1+\log X_2$；后者对应乘积。实际以对数正态近似正数总和时，需要另作近似说明，不能把乘法性质当成精确加法性质。