小提琴图

小提琴图（violin plot）把一组数值的平滑密度曲线沿中轴镜像，排在类别位置上，便于在有限宽度内比较几组分布。外轮廓宽的地方表示所估计的密度较高，而不是“这一水平的确切人数”。它比箱线图保留更多形状信息，却继承了核密度估计图对带宽和边界处理的依赖。

从一条密度曲线折成左右两半

设某组十七个有序数为 $0,0,0,0,2,2,2,2,4,6,6,6,6,8,8,8,8$，记为 B 组。这是合成教学数据。先沿纵轴计算核密度 ${\hat{f}}_h(y)$，本页配图选高斯核、带宽 $h=0.55$；再把横向轮廓画在 $x=c\pm a{\hat{f}}_h(y)$，其中 $c$ 是该组在图上的中心，$a>0$ 只控制显示宽度。同一纵坐标左右两边采用同一个密度值，所以轮廓对称。

中间短线对应真正观察到的值；两侧宽度来自平滑估计，不是左右各有一批观察。零和八之外的细尾也是核平滑的结果。

B 组在 0、2、6、8 都有重复，因此图的这些高度附近较宽；4 只有一次，附近较窄。由于高斯核在整个数轴上有非零尾部，图形在最小值 0 以下或最大值 8 以上仍可能延伸一小截。这段不是负数或大于八的真实观察。若数值有硬边界，例如时间不得小于零，须说明是否截断、反射或变换密度，而不能默默把平滑尾巴当成数据。

五数概括一样，内部形状仍不同

再取 A 组十七个数 $0,0.5,1,1.5,\dots ,7.5,8$，相邻值间隔 0.5。按本例的顺序统计量位置，A 与 B 的最小值都为 0、第 5 个数为 2、第 9 个数为 4、第 13 个数为 6、最大值为 8。因此两组的五数概括相同：$(0,2,4,6,8)$。单看这五个位置，很难看出 A 的观察覆盖中间多数位置，而 B 集中在少数四个位置。

两组共享纵轴和带宽 0.55；横向最大宽度被分别归一化。白色小点保留原始记录，横线是共同的中位数 4。

两幅小提琴都画了原始点；没有它们，B 的四个宽部容易被误认成连续区间里都有许多真实记录。图中每组都缩放到相同的最大宽度，这种画法只适合比较形状，不能从轮廓面积推断样本量。本例两组恰好都是 $n=17$；若换成一组十七人、另一组一百七十人，应同时标出 $n$，并说明采用“等最大宽度”“等面积”还是“宽度随样本量变化”的约定。

小样本与带宽

带宽缩小时，B 组的四处集中会分得更尖，A 组的半分钟间距也可能变成一串不必要的小波纹；带宽增大时，B 的几个峰会相互合并。样本量很少时，直接排成堆叠点图或画箱线图加原始点，通常比一张看似精细的小提琴更诚实。小提琴图适合在确有足够观察值、需要比较分布形状时使用；它不会使正态性、组间差异或因果关系自动成立。

参考资料

• ggplot2：小提琴图，带宽、截尾以及 scale 的面积、样本量和最大宽度约定。
• Hintze, J. L. 与 Nelson, R. D.（1998），Violin Plots: A Box Plot-Density Trace Synergism，The American Statistician，52(2)：181–184。
• 相关：箱线图、核密度估计图、经验分布函数图。