崩溃点

崩溃点（breakdown point）衡量估计方法对有限比例任意污染的抵抗能力。对位置估计，一种常用的有限样本定义是：至少替换多少个观测，才能让估计值离原结果任意远。它衡量最坏情况下的无界失效，不是“偏差达到可以忽略”或“分类准确率”的阈值。

以五个读数 $(1,2,3,4,5)$ 为例，平均值和中位数都是三。将最后一个读数改成巨大数 $M$，平均值变为 $(10+M)/5$，可随 $M\to \mathrm{\infty }$ 发散，中位数却仍为三。若改掉三个读数，情况就不同了。

固定样本量的替换定义

记原样本为 $x\in {ℝ}^n$，估计为 $T_n(x)$。令 ${ℛ}_m(x)$ 包含所有至多替换 $m$ 个坐标得到的样本，定义最大变化 $$b_m(T_n,x)=\underset{y\in {ℛ}_m(x)}{sup}|T_n(y)-T_n(x)|.$$ 本文采用的替换崩溃点为 $${\epsilon }_n^{\ast }(T_n,x)=\frac{1}{n}min\{m:b_m(T_n,x)=\mathrm{\infty }\}.$$ 这里是“最少使其无界”的比例；另有文献采用“最多仍保持有界”的比例，有限样本下通常相差一个观测，不能混报。替换污染的思路及均值的 $1/n$ 行为，可见Berkeley课程的相关讨论。

均值只需替换一个坐标就可发散，故有限样本崩溃点为 $1/n$，当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时趋零。常见“均值崩溃点为零”的说法指这个极限，不等于有限样本中不用改数据就会失效。

五点中位数的阈值证明

五点样本至多替换两点，仍有三个原始值留在 $[1,5]$ 内。若污染后的第三顺序统计量大于五，就至少需要三个数大于五；但只有两个数可能来自任意替换，矛盾。同理它不能小于一。因此中位数始终受原样本最小值与最大值控制，不能发散。

替换三点则可取污染样本 $(1,2,M,M,M)$，其第三顺序统计量就是 $M$。所以在本文定义下，五点中位数崩溃点为 $3/5$，最大仍不崩溃的比例是 $2/5$。两者随奇数样本量增大都趋向二分之一。

图取M从五增到三十。中位数两点替换曲线对应样本1、2、3、M、M；三点替换对应1、2、M、M、M。一般阈值由正文的顺序统计量计数证明。

对 $n=2k+1$，同一计数证明表明中位数至少需要 $k+1$ 点替换才无界，阈值为 $(k+1)/(2k+1)$。偶数 $n=2k$ 若定义中位数为两个中间值的平均，只需让后 $k$ 个数都趋于正无穷，故阈值为 $k/(2k)=1/2$；少于 $k$ 次替换则两个中间位置仍有界。

截尾平均的有解答变式

七个有限数排序后，每端删除一个，平均中间五个。一次任意替换若足够极端，会被相应的一端截去；不极端则仍在原有有限范围内。因此一次替换不能使结果无界。

将两个读数同时换成 $M$，删除最大值只能删去其中一个，剩余中间五数仍含一个 $M$，平均随之发散。所以该七点截尾平均的替换崩溃点是 $2/7$。若每端删除两个，则至少要替换三个，阈值改为 $3/7$。计算有限样本阈值时，不能只报告名义截尾比例而忽略这一点差异。

崩溃与有限偏差的区别

五点中位数在两点替换下虽不发散，仍可能从三移动到一或五；有界不代表误差可以接受。实际还要研究最大偏差、精度以及污染是否符合当前替换模型。

位置发散也不是所有参数的失效方式。尺度估计可能被推向无穷，或被压到零；回归中改变一个解释变量可制造高杠杆点，机制不同于只替换响应。新增污染与固定样本量的替换污染，也使用不同分母与计数。

高崩溃点不会修复错误的科学目标。若总体本就有两个群体，中位数代表哪个位置、是否应分组建模，仍需解释。影响函数提供污染比例趋零的另一项局部刻画；两种检查可共同使用，但不能由其中一个数值推断全部稳健性。