影响函数

影响函数（influence function）衡量统计目标在受到无穷小比例的定点污染时，其数值向哪个方向、以多大速度改变。它把“一个极端观测会产生多大作用”写成分布层面的一阶导数，常用于比较均值、中位数和稳健估计的局部敏感性。

令基准分布为标准正态 $F=N(0,1)$，用比例 $\epsilon$ 的固定数值十替代其中一部分，得到混合分布 $F_{\epsilon }=(1-\epsilon )F+\epsilon {\delta }_{10}$。均值变为 $10\epsilon$；中位数却不会按同样斜率向十移动。两者估计的是不同的总体位置概念，对污染的反应也不同。

污染路径的导数

设统计泛函 $T(F)$ 为由分布确定的数值，${\delta }_z$ 为在 $z$ 的点质量。若右导数存在，定义 $$\mathrm{IF}(z;T,F)=\underset{\epsilon \downarrow 0}{lim}\frac{T((1-\epsilon )F+\epsilon {\delta }_z)-T(F)}{\epsilon }.$$ 分子是目标变化，分母是污染比例；污染位置 $z$ 在取导数时固定。对于有有限均值的分布，均值泛函满足精确恒等式 $$T(F_{\epsilon })-T(F)=\epsilon (z-\mu ),$$ 故均值影响函数为 $z-\mu$，随污染点远离中心而无界增长。敏感性与影响函数的区别及有界性指标，可见Ruckstuhl的课程讲义。

中位数的导数

设基准分布具有唯一中位数 $m$，在其邻域有连续且正的密度 $f(m)>0$，并取 $z\ne m$。小污染下的中位数写为 $m_{\epsilon }=m+\epsilon a+o(\epsilon )$。

若 $z>m$，充分小污染时 $z>m_{\epsilon }$，所以中位数方程为 $(1-\epsilon )F(m_{\epsilon })=1/2$。展开得到 $$\frac{1}{2}+\epsilon \{f(m)a-1/2\}+o(\epsilon )=\frac{1}{2},$$ 于是 $a=1/[2f(m)]$。若 $z<m$，分布函数还要加上污染质量 $\epsilon$，相同计算给 $a=-1/[2f(m)]$。合并为 $$\mathrm{IF}(z;\mathrm{med},F)=\frac{\mathrm{sign}(z-m)}{2f(m)}(z\ne m).$$ 污染点恰在中位数时，中位数可保持不动，单独取导数为零。密度为零、分布有平段或中位数不唯一时，不能直接套用除以 $f(m)$ 的公式。

标准正态的 $f(0)=1/\sqrt{2\pi }$，故正、负两侧影响值分别为 $\pm \sqrt{\pi /2}\approx \pm 1.2533$。把污染点从十移到一百，不会继续增加中位数的一阶影响。

中位数曲线在零点的单点值另取零。远处污染的一阶作用被限幅，但有限比例污染的偏差还需另外计算。

线性近似与有限污染

主例取 $\epsilon =0.02,z=10$。均值精确变成 $0.2$。中位数只要仍小于十，就满足 $$m_{\epsilon }={\Phi }^{-1}\left(\frac{1}{2(1-\epsilon )}\right),$$ 其中 $\Phi$ 是标准正态分布函数。代入得到约 $0.025581$，而影响函数一阶近似为 $0.02\sqrt{\pi /2}\approx 0.025066$。近似与精确值的差别说明：影响函数是污染比例趋零的局部描述，有限比例仍有高阶作用。

横轴污染比例从零到0.1。中位数按混合分布的精确分位数计算，污染点在此范围始终位于中位数右侧。

变式。 对方差泛函，设基准均值为 $\mu$、方差为 ${\sigma }^2$。混合分布方差为 $$(1-\epsilon ){\sigma }^2+\epsilon (1-\epsilon )(z-\mu {)}^2.$$ 因此方差影响函数为 $(z-\mu {)}^2-{\sigma }^2$。标准正态下 $z=3$ 给八，$z=10$ 给九十九，比均值的一次增长更敏感。

影响函数有界刻画一种局部稳健性；崩溃点问的是多少有限比例替换能使估计任意远离。两者没有互相替代的定义。把分布泛函的导数用于样本估计的渐近方差，也还要证明相应的渐近线性表示，不能只算出一个导数便省略随机余项分析。