布朗运动

布朗运动（Brownian motion），在数学中也称维纳过程（Wiener process），是一种连续时间的随机过程：路径连续，互不重叠时间段内的增量独立，增量服从方差与时间长度成正比的正态分布。它是扩散与随机微分方程的基本模型。

很多小步加起来，波动该缩小多少

先看每次向左或向右移动一格的对称随机游走。走 $n$ 步，位移的方差是 $n$ 。如果希望在长度为1的时间里放入越来越多步，同时保持总波动量不变，每步的长度应为 $1 / \sqrt{n}$ ： $Var (\sum_{k = 1}^{n} \frac{ξ_{k}}{\sqrt{n}}) = n \frac{1}{n} = 1.$ 每步时间为 $h = 1 / n$ ，所以步长应与 $\sqrt{h}$ 同量级。若误用 $h$ ，总方差会变成 $n h^{2} = 1 / n$ ，越来越接近零。

这个缩放解释了布朗运动中的平方根。随机游走到布朗运动的严格过程收敛还需极限定理；有限次折线行走本身并不具有连续布朗路径的全部性质。

标准布朗运动的定义

实值过程 ${W_{t} : t \geq 0}$ 是标准布朗运动，如果满足：

$W_{0} = 0$ ，概率为1。
互不重叠时间区间上的增量相互独立。
对 $0 \leq s < t$ ， $W_{t} - W_{s} \sim N (0, t - s)$ ；这里第二个参数是方差。
以概率1，函数 $t \mapsto W_{t}$ 连续。

对任意固定 $t > 0$ ，因此有 $p_{t} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π t}} \exp (- \frac{x^{2}}{2 t}), E [W_{t}] = 0, Var (W_{t}) = t .$ 增量的密度把式中的 $t$ 换成 $t - s$ 。指数分母使用方差 $2 (t - s)$ ，不是时间长度的平方。定义与缩放性质可见 Scott Sheffield，MIT 的布朗运动讲义。

四条从零出发的模拟布朗路径，在同一时间区间表现出不同起伏，零均值线穿过中间 — 这些是离散网格上的模拟值连成的线；均值为零不要求每条路径围绕零对称。

时间变长，分布如何展开

在 $t = 1 / 4, 1, 4$ 时，标准差分别为 $1 / 2, 1, 2$ 。密度越铺越宽，峰值降低，但曲线下的总面积始终为1。

固定区间 $[- 1, 1]$ 中的概率依次约为95.45%、68.27%、38.29%。这三个概率来自 $P (| W_{t} | \leq 1) = P (| Z | \leq \frac{1}{\sqrt{t}}), Z \sim N (0, 1) .$ 它们描述在指定时刻的位置，并不等于“从0到该时刻一直没有越过区间”的概率。后一个事件涉及整条路径的最大偏移。

时间四分之一、一和四对应的三条零均值正态密度，标准差依次为二分之一、一和二，图中标出位置区间负一到一 — 同一空间范围捕获的终点概率随时间改变；图的横轴是位置。

更一般地，对 $c > 0$ ，过程 $W_{c t} / \sqrt{c}$ 仍满足标准布朗运动的定义。时间放大 $c$ 倍，空间缩放 $\sqrt{c}$ 倍，统计规律保持相同。这是分布意义的缩放，不是同一条样本路径在任意两段上完全重合。

独立的是增量，不是位置

如果 $s \leq t$ ，则 $W_{t} = W_{s} + (W_{t} - W_{s})$ 。后一个增量与 $W_{s}$ 独立且均值为零，所以 $E [W_{s} W_{t}] = E [W_{s}^{2}] = s, Cov (W_{s}, W_{t}) = min (s, t) .$ 例如 $W_{1}$ 与 $W_{4}$ 的相关系数是 $1 / \sqrt{1 \cdot 4} = 1 / 2$ 。当前位置保留了之前已经积累的位移，因此相邻位置不是独立抽样。

给定截至 $s$ 时刻的完整历史，未来增量的分布仍与该历史独立。于是给定 $W_{s} = x$ 后， $W_{t}$ 的条件分布为 $N (x, t - s)$ 。这连接到马尔可夫链中的“当前状态足够预测下一步”，但此处的时间和状态都是连续的。

连续曲线为什么不能按普通曲线求导

时间间隔为 $h$ 时，增量标准差是 $\sqrt{h}$ ，差商的标准差却是 $\frac{\sqrt{h}}{h} = \frac{1}{\sqrt{h}} .$ 间隔越小，差商的波动尺度反而越大。这提示普通切线可能不存在。完整结论是布朗路径以概率1处处不可微；单凭这个方差计算还不是该结论的证明。

有一个与随机微积分直接相关的性质可以在这里详细计算。把 $[0, T]$ 均分为 $n$ 段，设 $Q_{n} = \sum_{k = 0}^{n - 1} (W_{(k + 1) T / n} - W_{k T / n})^{2} .$ 每个增量服从 $N (0, T / n)$ 。正态变量的四阶矩为方差平方的3倍，所以 $E [Q_{n}] = T, Var (Q_{n}) = n \cdot 2 (T / n)^{2} = \frac{2 T^{2}}{n} .$ 因此 $E [(Q_{n} - T)^{2}] \to 0$ ，即这些等分网格上的平方增量和在均方意义下趋向 $T$ 。这就是布朗运动二次变差的核心现象。

同一细网格布朗路径按不同分割计算平方增量和，与目标T等于一比较；同图比较光滑函数t的平方增量和等于一除以n — 单条模拟的数值未必逐次单调；均方收敛由期望与方差的计算保证。

相反，可微且导数有界的函数，在每小段上的增量至多为常数乘以 $T / n$ ，平方和至多是常数乘以 $1 / n$ ，会趋向零。布朗运动保留下来的二阶量，是 Itô 公式中多出修正项的原因。

怎样在计算机上生成正确的网格值

设网格间隔 $h > 0$ ，独立生成 $Z_{k} \sim N (0, 1)$ ，然后更新 $W_{k + 1} = W_{k} + \sqrt{h} Z_{k}, W_{0} = 0.$ 这些网格点具有正确的布朗联合分布。连接它们的直线只用于显示，线段内部不是已生成的完整布朗路径。

例如 $h = 1 / 4$ ，取教学用标准化增量 $0.4, - 1.2, 0.6, 0.2$ ，得到位置 $0, 0.2, - 0.4, - 0.1, 0$ 。四个数用于说明更新算法，不是一份用来估计分布的观测数据。

若比较不同步长下的同一随机驱动，粗网格增量应当等于对应细网格增量之和。每换步长就重新抽一条完全无关的路径，图上差异会同时包含路径差异和数值误差。固定随机种子有助于复现，也仍需记录算法、参数与时间网格。

与扩散方程、物理运动的联系

若粒子位置写成 $X_{t} = x_{0} + \sqrt{2 D} W_{t}$ ，其中 $D > 0$ 是扩散系数，则 $E [(X_{t} - x_{0})^{2}] = 2 D t, p (x, t) = \frac{1}{\sqrt{4 π D t}} \exp [- \frac{(x - x_{0})^{2}}{4 D t}] .$ 直接对这个密度求偏导可验证 $p_{t} = D p_{x x}$ ，正是无界空间的扩散方程。一边研究许多粒子的密度，一边研究单个随机路径，得到两个相互关联的视角。若位置单位为米、时间单位为秒，则 $D$ 的单位是平方米每秒。

爱因斯坦在1905年的工作把悬浮微粒的运动与分子热运动联系起来，参见John D. Norton 整理的原论文导读。维纳后来在路径空间上建立了严谨的概率描述。真实粒子在极短时间内还可能表现出惯性，连续布朗模型的适用尺度需要由物理问题决定。

来源与继续阅读

Scott Sheffield，MIT 18.175，Lecture 36：布朗运动的定义、协方差及缩放性质。
D. J. Higham，An Algorithmic Introduction to Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations，2001，§§2–3：离散布朗路径和随机积分。
Dictionary of Scientific Biography：Norbert Wiener：路径空间与布朗运动研究的历史。
先修：随机过程、正态分布、期望；后续：随机微分方程、热方程。