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随机微分方程

随机微分方程（stochastic differential equation，SDE）用局部变化规律描述随机过程。本文讨论由布朗运动驱动的 Itô 方程，把可预测的平均变化与持续随机扰动分开，并通过一个均值回复模型求出分布和数值近似。

温差会回落，却一直受到新的扰动

设 Xt 是相对目标温度的偏差。没有扰动时，负反馈可以写为 X′=−aX。若短时间内还积累许多微小、近似独立的环境扰动，可以建立 dXt=−aXtdt+σdWt,X0=x0,a>0. Wt 是标准布朗运动。−aXt 称为漂移，把温差拉回0；σ 是扩散系数，决定随机增量强度。本例是以0为回复中心的 Ornstein–Uhlenbeck 过程。

若时间用分钟、温差用摄氏度，a 的单位为每分钟，σ 的单位为摄氏度除以分钟的平方根。小时间段 h 内，漂移贡献约为 −aXth，随机贡献的标准差约为 |σ|h。

取合成教学参数 a=0.8、σ=0.6、x0=1.5。每条轨迹都受到恢复作用，也都不断接受新扰动。因此平均温差会靠近0，一条轨迹却不会从某个时刻开始永远静止在0。

若干均值回复温差轨迹从一点五出发并持续波动，叠加逐渐衰减的理论均值与固定时刻的百分之九十五分位带
带状范围描述各个固定时刻的边缘分布，不保证一整条路径始终处于带内。

dW 不是一个普通的微分商

布朗路径几乎必然不可微，所以不能把上式理解为普通函数方程 X′=−aX+σW′。它的含义是积分关系 Xt=x0−∫0taXsds+σ(Wt−W0). 一般的 Itô 方程写成 dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dWt,Xt=X0+∫0tf(s,Xs)ds+∫0tg(s,Xs)dWs. 最后一个是 Itô 随机积分。其基本构造用左端时刻已经知道的值乘以随后的布朗增量，再在适当的均方条件下取极限。被积过程必须适应已经获得的信息，不能预先使用未来增量。

例如，假设 Hs 对布朗运动所用的信息流逐步可测，并且在所讨论的每个有限时间段满足 E∫0tHs2ds<∞。逐步可测要求从时间0到任何当前时刻的取值能用截至该时刻的信息共同描述；它包含“不能预知未来”的要求。上述积分条件比每个固定时刻单独平方可积更强。在这些条件下，Itô 积分满足 E[∫0tHsdWs]=0,E[(∫0tHsdWs)2]=E∫0tHs2ds. 第二式称为 Itô 等距。它把难以直接计算的随机积分二阶矩变成普通积分，后面求温差方差时会用到。

在标准设定下，若系数对状态全局 Lipschitz、满足线性增长条件，初值平方可积且与未来布朗增量相容，则有唯一的适应强解。更一般的系数需要另行检查存在、唯一及是否爆炸；写出形式相似的方程，并不自动获得所有这些性质。

均值回复模型可以完整求解

乘以确定的积分因子 eat，有 d(eatXt)=σeatdWt. 积分后得到 Xt=x0e−at+σ∫0te−a(t−s)dWs. 第一项是没有噪声时的解，第二项把每个过去时刻的新扰动按 e−a(t−s) 衰减后累积起来。越久以前的扰动，当前影响越小。

Itô 积分的零均值性给出 E[Xt]=x0e−at。被积函数是确定的，随机积分为高斯变量；由等距式， Var⁡(Xt)=σ2∫0te−2a(t−s)ds=σ22a(1−e−2at). 所以给定确定初值时，Xt 的完整分布为 Xt∼N(x0e−at,σ22a(1−e−2at)). 本例在 t=1 时均值约0.6740度，方差约0.1796平方度，标准差约0.4238度。长期方差趋于 0.36/1.6=0.225，没有消失。

同一个均值回复过程在四分之一、一和四分钟时的正态密度，中心逐渐接近零而宽度趋向非零极限
回复消除初始偏差的影响，持续噪声维持非零波动。

若初始状态已经服从 N(0,σ2/(2a))，并独立于未来布朗增量，则由同一解式可验证所有时刻具有该分布。还不能只凭这一点就断言过程平稳，必须检查时间之间的联合关系。对 s≤t，把解从时刻 s 展开，后续噪声与 Xs 独立，得到 Cov⁡(Xs,Xt)=e−a(t−s)Var⁡(Xs)=σ22ae−a(t−s). 因此任意两时刻的协方差只依赖时间差的绝对值。该过程是高斯过程，有限维联合分布由均值与协方差确定；同时平移所有时刻不会改变这些量，所以过程严格平稳。反之，从固定的1.5度出发，过程在初期不平稳，只是边缘分布趋向该平稳分布。平稳分布与“存在一个不动的样本状态”是不同概念。

手算三步 Euler–Maruyama

将积分在每一步用当前状态近似，得到 Xn+1=Xn+f(tn,Xn)h+g(tn,Xn)hZn,Zn∼N(0,1), 其中 Zn 相互独立。这是 Euler–Maruyama 方法；噪声为零时就退化为普通欧拉法。

取 h=0.25，本例更新为 Xn+1=0.8Xn+0.3Zn。用指定的教学数列 Z0=−0.5,Z1=0.8,Z2=−1.2，从1.5开始，依次得到 X1=1.05,X2=1.08,X3=0.504. 第二步虽然回复项使1.05减少到0.84，正的随机增量0.24却把结果推回1.08。漂移是条件平均趋势，不要求每一步都沿该方向运动。

三个更新步骤分别显示当前值、确定性回复后的值以及随机增量后的最终值，一点五到一点零五再到一点零八和零点五零四
每一步分别计算漂移和随机增量，能检查单位与平方根步长是否使用正确。

这个线性模型还可以直接生成精确的网格转移： Xt+h=e−ahXt+η,η∼N(0,σ22a(1−e−2ah)), 其中 η 与时刻 t 之前的信息独立。它适合核验转移分布，但把独立生成的两条路径画在一起，不能当作同一布朗驱动下的逐路径误差。

数值法也可能改变长期方差

Euler–Maruyama 对本例产生自回归序列 Xn+1=(1−ah)Xn+σhZn. 如果 |1−ah|<1，其平稳方差 Vh 应满足 Vh=(1−ah)2Vh+σ2h,Vh=σ22a−a2h. 它一般不等于连续模型的 σ2/(2a)。在 h=0.25 时，数值平稳方差为0.25，连续模型是0.225，前者偏高约11.11%。步长减半为0.125时，数值方差约0.23684，偏差减小。

欧拉随机离散模型的平稳方差随步长增大而上升，连续模型方差零点二二五画为水平线
数值序列看起来稳定，也可能把长期波动量算偏；图线来自解析公式。

稳定条件通过并不等于误差已足够小。对于一般SDE，强误差比较同一随机驱动下的路径近似，弱误差比较期望等分布量；二者回答不同问题。Euler–Maruyama 在适当光滑性、增长和矩条件下常有强阶 1/2 与弱阶1，不能把该结论无条件套到任意非线性方程。

普通链式法则缺少了什么

令 Yt=Wt2。在网格上展开平方： Wt+h2−Wt2=2WtΔW+(ΔW)2. 求和时，第一项趋向 2∫0tWsdWs；第二项的和不会消失，而趋向 t，见布朗运动的二次变差计算。因此 Wt2=2∫0tWsdWs+t. 对 dX=fdt+gdW 和足够光滑的 F(t,x)，相应的 Itô 公式是 dF=(Ft+fFx+12g2Fxx)dt+gFxdW. 这里 F 对时间一次连续可微、对状态两次连续可微；方程及积分还须满足相应的存在条件。额外二阶项不能省略。Stratonovich 积分采用另一种定义；使用哪种解释必须随模型说明。

例如 dY=μYdt+σYdW 从正初值出发，取对数会得到 dlog⁡Y=(μ−σ2/2)dt+σdW,Yt=Y0e(μ−σ2/2)t+σWt. 修正项正是由 (log⁡y)″=−1/y2 产生，不能把它当作普通可分离微分方程来漏掉。这一乘性噪声例子中的 σ 单位是时间的负二分之一次方，与前面加性温差噪声系数的单位不同；μ 和 σ2 才具有相同的每时间单位。若 Y 带物理单位，对数可严格写成 log⁡(Y/Yref)，其中 Yref>0 是同单位的固定参考量，导数和解式保持不变。

噪声放在哪里，改变的是模型

在 dX=f(X)dt+σdW 中，即使 f(x∗)=0，只要 σ≠0，常值 Xt=x∗ 也不是解。若研究非负数量，加性噪声还可能把状态推到负数，必须检查状态约束。

若改为 dX=f(X)dt+σXdW，噪声强度随状态改变。它的平衡、正性和长期行为需要重新研究。选择加性或乘性噪声，应来自扰动机制与尺度，而不是为了让图线显得更“真实”。

Uhlenbeck 与 Ornstein 在1930年的原论文中研究带摩擦的布朗运动；现代随机积分为此类模型提供了严格语言。本文的温差案例使用同类线性回复结构，并不把虚构参数作为实测结论。

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